Use o método de série de potências para encontrar uma solução particular da equação seguinte :
x^2 y^prime prime+4 x y^prime+2 y=ln (1+x)

Passo 1

A equação dada é x^{2}y’’ + 4x y’ + 2y = \ln(1+x). Vamos usar série de potências para achar uma solução particular y_p como yp(x)=sumn=0^infty bn x^n Precisamos também da expansão de \ln(1+x)=\sum_{n=1}\infty\frac{(-1){n-1}}n x^n.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y_p: y_p’=\sum_{n=1}^\infty n b_n x^{n-1}, y_p’’=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)b_n x^{n-2}. Substituindo na equação montamos a série do lado esquerdo:
x^2y''=sumn=0^infty (n+2)(n+1)bn+2x^n, 4xy'=4sumn=0^infty (n+1)bn+1x^n, 2y=2sumn=0^infty bnx^n

Passo 3

Somando tudo obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)bn+2+4(n+1)bn+1+2bnr]x^n = sumn=1^infty(-1)^n-1n x^n

Passo 4

Igualando coeficientes em x^n gera a recorrência para n\ge1:
(n+2)(n+1)bn+2+4(n+1)bn+1+2bn = (-1)^n-1n,
e, em n=0, temos 2b_2+4b_1+2b_0=0. Para achar uma particular, escolhemos b_0=b_1=0. Daí b_2=0 e usando a recorrência achamos b_3=1/6, b_4=-5/24, b_5=1/6, b_6=-19/180, etc.

Passo 5

Logo, a solução particular fica dada pela série com esses coeficientes.

Resposta

yp(x)=x^36-5x^424+x^56-19x^6180+cdots

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