Use o método de série de potências para encontrar uma solução particular da equação seguinte :
Passo 1
A equação dada é x^{2}y’’ + 4x y’ + 2y = \ln(1+x). Vamos usar série de potências para achar uma solução particular y_p como
Precisamos também da expansão de \ln(1+x)=\sum_{n=1}\infty\frac{(-1){n-1}}n x^n.
Passo 2
Calculamos as derivadas de y_p: y_p’=\sum_{n=1}^\infty n b_n x^{n-1}, y_p’’=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)b_n x^{n-2}. Substituindo na equação montamos a série do lado esquerdo:
Passo 3
Somando tudo obtemos
Passo 4
Igualando coeficientes em x^n gera a recorrência para n\ge1:
e, em n=0, temos 2b_2+4b_1+2b_0=0. Para achar uma particular, escolhemos b_0=b_1=0. Daí b_2=0 e usando a recorrência achamos b_3=1/6, b_4=-5/24, b_5=1/6, b_6=-19/180, etc.
Passo 5
Logo, a solução particular fica dada pela série com esses coeficientes.