Usando a substituição u=f^-1(x), e sabendo que dd x f^-1(x)=1f^prime(x), use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(h) integral arctan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para integrar a função arctan(x) usando a técnica de Integração por Partes. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes e saber escolher adequadamente as funções que vamos chamar de u e dv na fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nossa função para integrar é arctan(x). Vamos precisar escolher quais partes da nossa função serão u e dv. Uma boa estratégia é escolher u como a função que simplifica quando derivada, e dv como o restante da expressão.
Vamos escolher:
  • u = arctan(x)
  • dv = dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v.
Primeiro, derivamos u:
u = arctan(x) Rightarrow du = 11 + x^2 dx
Em seguida, integramos dv para encontrar v:
dv = dx Rightarrow v = integral dx = x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du, temos:
integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - integral x cdot 11 + x^2 dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral que restou:
integral x1 + x^2 dx
Fazendo uma substituição simples, deixe w = 1 + x^2, então dw = 2x dx, ou seja, dw2 = x dx. Portanto:
integral x1 + x^2 dx = 12 integral dww = 12 ln|w| + C = 12 ln(1 + x^2) + C
Voltando à nossa expressão original:
integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

Resposta

A integral de arctan(x) em relação a x é:
integral arctan(x) , dx = x cdot arctan(x) - 12 ln(1 + x^2) + C

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