Usando as técnicas de derivação vistas e tabeladas, encontre as derivadas das funções a seguir:
f(x)=(x^3-4 x^2) cdot(raizx+sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função f(x) = (x^3 - 4x^2) cdot (raizx + sin x) . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a regra do produto e as fórmulas de derivação de funções básicas. Precisamos saber como derivar potências de x , funções trigonométricas como o seno e funções como a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
u(x) = x^3 - 4x^2
v(x) = raizx + sin x
Para derivar f(x) = u(x) cdot v(x) , usamos a regra do produto, que diz que:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Então, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) .

Passo 3

Vamos derivar u(x) = x^3 - 4x^2 :
A derivada de x^n é n cdot x^n-1 . Aplicando isso:
u'(x) = 3x^2 - 8x

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = raizx + sin x :
Primeiro, reescrevemos raizx como x^1/2 . A derivada de x^1/2 é 12x^-1/2 = 12raizx .
A derivada de sin x é cos x .
Então:
v'(x) = 12raizx + cos x

Passo 5

Agora que temos u'(x) e v'(x) , aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo:
f'(x) = (3x^2 - 8x) cdot (raizx + sin x) + (x^3 - 4x^2) cdot (12raizx + cos x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = (3x^2 - 8x)(raizx + sin x) + (x^3 - 4x^2)(12raizx + cos x)

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