Usando as técnicas de derivação vistas e tabeladas, encontre as derivadas das funções a seguir:
f(x)=((x^2+2 x) cdot(x^3+4 x^2+4))^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função:
f(x) = ( (x^2 + 2x) cdot (x^3 + 4x^2 + 4) )^2
Vamos usar as regras de derivação que já vimos, como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos chamar de u(x) o que está dentro do quadrado:
u(x) = (x^2 + 2x) cdot (x^3 + 4x^2 + 4)
Então, nossa função fica:
f(x) = (u(x))^2

Passo 3

Para derivar f(x) , vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de [u(x)]^n é n cdot [u(x)]^n-1 cdot u'(x) . No nosso caso, n = 2 , então:
f'(x) = 2 cdot (u(x))^1 cdot u'(x)
Ou seja:
f'(x) = 2u(x) cdot u'(x)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar u'(x) , a derivada de u(x) . Como u(x) é o produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de v(x) cdot w(x) é v'(x)w(x) + v(x)w'(x) . Aqui, v(x) = x^2 + 2x e w(x) = x^3 + 4x^2 + 4 .

Passo 5

Vamos derivar v(x) e w(x) :
v'(x) = ddx(x^2 + 2x) = 2x + 2
w'(x) = ddx(x^3 + 4x^2 + 4) = 3x^2 + 8x

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
u'(x) = v'(x)w(x) + v(x)w'(x)
Substituindo:
u'(x) = (2x + 2)(x^3 + 4x^2 + 4) + (x^2 + 2x)(3x^2 + 8x)

Passo 7

Agora, precisamos multiplicar as expressões:
Primeiro, (2x + 2)(x^3 + 4x^2 + 4) :
2x cdot x^3 = 2x^4
2x cdot 4x^2 = 8x^3
2x cdot 4 = 8x
2 cdot x^3 = 2x^3
2 cdot 4x^2 = 8x^2
2 cdot 4 = 8
Somando tudo:
2x^4 + 8x^3 + 8x + 2x^3 + 8x^2 + 8 = 2x^4 + 10x^3 + 8x^2 + 8x + 8

Passo 8

Agora, (x^2 + 2x)(3x^2 + 8x) :
x^2 cdot 3x^2 = 3x^4
x^2 cdot 8x = 8x^3
2x cdot 3x^2 = 6x^3
2x cdot 8x = 16x^2
Somando tudo:
3x^4 + 8x^3 + 6x^3 + 16x^2 = 3x^4 + 14x^3 + 16x^2

Passo 9

Agora, somamos os resultados das multiplicações anteriores para encontrar u'(x) :
u'(x) = (2x^4 + 10x^3 + 8x^2 + 8x + 8) + (3x^4 + 14x^3 + 16x^2)
Somando os termos semelhantes:
u'(x) = 5x^4 + 24x^3 + 24x^2 + 8x + 8

Passo 10

Agora que temos u'(x) , voltamos para a derivada de f(x) :
f'(x) = 2u(x) cdot u'(x)
Lembrando que:
u(x) = (x^2 + 2x)(x^3 + 4x^2 + 4)
Podemos deixar a expressão assim ou multiplicar tudo, dependendo do que for solicitado. Mas como o exercício pede apenas a derivada, não precisamos simplificar mais.

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2 cdot ( (x^2 + 2x)(x^3 + 4x^2 + 4) ) cdot (5x^4 + 24x^3 + 24x^2 + 8x + 8)

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