Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
42 e 96 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 42 e 96 usando o Teorema Fundamental da Aritmética. Além disso, vamos descobrir quantos divisores positivos cada um desses números tem. Para isso, vamos precisar fatorar cada número em seus fatores primos.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 42 em fatores primos. O Teorema Fundamental da Aritmética nos diz que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito como um produto de números primos de maneira única (ignorando a ordem).
42:
  • 42 ÷ 2 = 21
  • 21 ÷ 3 = 7
  • 7 é primo
Então, 42 = 2 × 3 × 7

Passo 3

Agora, vamos fatorar o número 96 em fatores primos:
96:
  • 96 ÷ 2 = 48
  • 48 ÷ 2 = 24
  • 24 ÷ 2 = 12
  • 12 ÷ 2 = 6
  • 6 ÷ 2 = 3
  • 3 é primo
Então, 96 = 2⁵ × 3

Passo 4

Com as fatorações prontas, podemos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC). Para isso, identificamos os fatores primos comuns com os menores expoentes:
Fatores de 42: 2¹ × 3¹ × 7¹
Fatores de 96: 2⁵ × 3¹
Os fatores comuns são 2 e 3. Pegamos o menor expoente de cada:
MDC = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6

Passo 5

Agora, vamos encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Para isso, pegamos todos os fatores primos presentes em qualquer um dos números, usando o maior expoente de cada:
Fatores de 42: 2¹ × 3¹ × 7¹
Fatores de 96: 2⁵ × 3¹
MMC = 2⁵ × 3¹ × 7¹ = 32 × 3 × 7 = 672

Passo 6

Por último, vamos descobrir o número de divisores positivos de cada número. A fórmula para isso é: se a fatoração de um número é , então o número de divisores é .
Para 42:
Fatores: 2¹ × 3¹ × 7¹
Número de divisores = (1+1) × (1+1) × (1+1) = 2 × 2 × 2 = 8
Para 96:
Fatores: 2⁵ × 3¹
Número de divisores = (5+1) × (1+1) = 6 × 2 = 12

Resposta

  • MDC de 42 e 96: 6
  • MMC de 42 e 96: 672
  • Número de divisores positivos:
    • 42 tem 8 divisores
    • 96 tem 12 divisores

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