Usando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz A=[cccc3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A= 3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0
usando o Teorema de Laplace (expansão por cofatores). Vamos escolher a segunda linha, que tem dois zeros, para simplificar o cálculo.

Passo 2

Expandindo pela segunda linha, só há contribuições das colunas 2 e 4:
det(A) = a2,2,C2,2 ;+; a2,4,C2,4 = 2;C2,2 ;+; 1;C2,4,
onde Ci,j=(-1)^i+jdet(Mi,j) é o cofator e Mi,j é o menor resultante de eliminar a linha i e a coluna j.

Passo 3

O menor M2,2 (eliminando linha 2 e coluna 2) é
M2,2 = 3 & 5 & 0 2 & -1 & 3 1 & 2 & 0
Expandindo pela primeira linha:
det(M2,2) =3-1 & 3 2 & 0 -52 & 3 1 & 0 =3l((-1)cdot0-3cdot2r)-5l(2cdot0-3cdot1r) =-18+15=-3
Como C2,2=(-1)^2+2det(M2,2), temos
C2,2=-3

Passo 4

O menor M2,4 (eliminando linha 2 e coluna 4) é
M2,4 = 3 & -1 & 5 2 & 0 & -1 1 & 1 & 2
Expandindo pela primeira linha:
det(M2,4) =30 & -1 1 & 2 -(-1)2 & -1 1 & 2 +52 & 0 1 & 1 =3(0cdot2-(-1)cdot1)+1(2cdot2-(-1)cdot1)+5(2cdot1-0cdot1) =3+5+10=18
Como C2,4=(-1)^2+4det(M2,4), temos
C2,4=18

Passo 5

Substituindo em det(A)=2,C2,2+1,C2,4, obtemos
det(A)=2cdot(-3)+1cdot18=-6+18=12

Resposta

det(A)=12

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