Usando teoria de expoentes, simplifique as seguintes expressões algébricas:
(a+b+c)^4-a^2-b^2-c^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão algébrica que envolve potências. A gente tem que simplificar (a + b + c)^4 - a^2 - b^2 - c^2. Para isso, vamos usar a teoria de expoentes e expandir o termo (a + b + c)^4. Vamos precisar lembrar como expandir expressões com várias variáveis e aplicar algumas propriedades dos expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (a + b + c)^4. Para isso, usamos o teorema multinomial, que é uma extensão do teorema binomial para mais de duas variáveis. A expansão completa de (a + b + c)^4 inclui todos os termos possíveis onde as potências de a, b e c somam 4.

Passo 3

Aplicando o teorema multinomial, a expansão de (a + b + c)^4 fica assim:
(a + b + c)^4 = a^4 + b^4 + c^4 + 4a^3b + 4a^3c + 4ab^3 + 4ac^3 + 4b^3c + 4bc^3 + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2

Passo 4

Agora, vamos subtrair a^2 + b^2 + c^2 dessa expansão:
(a + b + c)^4 - a^2 - b^2 - c^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 4a^3b + 4a^3c + 4ab^3 + 4ac^3 + 4b^3c + 4bc^3 + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2 - a^2 - b^2 - c^2

Passo 5

Vamos simplificar os termos semelhantes. Observe que temos -a^2 - b^2 - c^2 , que não se combinam diretamente com nenhum termo da expansão, então eles permanecem assim. A expressão simplificada fica:
a^4 + b^4 + c^4 + 4a^3b + 4a^3c + 4ab^3 + 4ac^3 + 4b^3c + 4bc^3 + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2 - a^2 - b^2 - c^2

Resposta

A expressão simplificada é:
a^4 + b^4 + c^4 + 4a^3b + 4a^3c + 4ab^3 + 4ac^3 + 4b^3c + 4bc^3 + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2 - a^2 - b^2 - c^2

Exercícios relacionados