Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n}{\sqrt{n^{3}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para, usando o teste de D’Alembert (teste da razão), verificar se a série abaixo é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}}.
    O que se pede:
  • Aplicar o teste da razão (D’Alembert) e decidir sobre convergência ou divergência da série.

Passo 2

Vou explicar o teste de D’Alembert (teste da razão) de forma simples e prática. Seja uma série de termos positivos \sum a_n com a_n>0. Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não dá informação), e precisamos usar outro teste.
    Agora aplicamos isso ao nosso a_n.

Passo 3

Escrevo explicitamente o termo a_n e o termo seguinte a_{n+1}:
a_n=\frac{3n}{\sqrt{n^{3}+1}},\qquad a_{n+1}=\frac{3(n+1)}{\sqrt{(n+1)^{3}+1}}.

Passo 4

Formo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplifico passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{3(n+1)}{\sqrt{(n+1)^3+1}}}{\dfrac{3n}{\sqrt{n^3+1}}} = \frac{n+1}{n}\cdot \frac{\sqrt{n^3+1}}{\sqrt{(n+1)^3+1}}.
Agora escrevo isso numa forma que facilite o limite:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)\sqrt{\frac{n^3+1}{(n+1)^3+1}}.

Passo 5

Calculo o limite quando n\to\infty. Para a parte dentro da raiz, fatoro n^3:
\frac{n^3+1}{(n+1)^3+1} = \frac{1+\dfrac{1}{n^3}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3+\dfrac{1}{n^3}}.
Quando n\to\infty, temos 1+\dfrac{1}{n^3}\to 1 e \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3+\dfrac{1}{n^3}\to 1. Logo a fração tende a 1. Assim a raiz tende a 1. A outra fator \left(1+\dfrac{1}{n}\right) também tende a 1. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1.

Passo 6

Interpretação: como L=1, o teste de D’Alembert é inconclusivo — ele não diz se a série converge ou diverge. Então precisamos usar outro teste para concluir. Uma escolha natural e simples aqui é o teste de comparação (ou comparação-limite) com uma série p conhecida.

Passo 7

Observação heurística: para grandes n, \sqrt{n^{3}+1} comporta-se como n^{3/2}. Assim o termo a_n é aproximadamente
a_n\approx \frac{3n}{n^{3/2}} = 3\,n^{-1/2}.
A série \sum n^{-1/2} é uma série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1, portanto diverge. Vou formalizar isso com o teste da comparação por limite.
Defino b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2}. Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{3n}{\sqrt{n^3+1}}}{n^{-1/2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n\cdot n^{1/2}}{\sqrt{n^3+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{3/2}}{\sqrt{n^3+1}}.
Escrevendo \sqrt{n^3+1}=\sqrt{n^3}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^3}}=n^{3/2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^3}}, temos
\frac{3n^{3/2}}{\sqrt{n^3+1}}=\frac{3n^{3/2}}{n^{3/2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^3}}} =\frac{3}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^3}}}\longrightarrow 3.
O limite é um número finito e positivo ( 3). Pelo teste da comparação por limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência. Como já sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
é divergente (série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1), concluímos que a série original diverge.

Passo 8

Resumo final e incentivo: aplicamos o teste de D’Alembert e obtivemos L=1, então o teste da razão não foi suficiente. Em seguida usamos comparação-limite com a série p 1/\sqrt{n} e mostramos que o termo geral da nossa série é equivalente a 3/\sqrt{n} para n grande, o que implica divergência. Beleza — terminou bem: agora você já sabe aplicar a razão, interpretar o caso L=1 e escolher um teste alternativo.

Resposta

Divergente.

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