Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para, usando o teste de D’Alembert (teste da razão), verificar se a série abaixo é convergente ou divergente:
Informações dadas:
- O termo geral da série é
.
O que se pede: - Aplicar o teste da razão (D’Alembert) e decidir sobre convergência ou divergência da série.
Passo 2
Vou explicar o teste de D’Alembert (teste da razão) de forma simples e prática. Seja uma série de termos positivos
com
. Definimos
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não dá informação), e precisamos usar outro teste.
Agora aplicamos isso ao nosso.
Passo 3
Escrevo explicitamente o termo
e o termo seguinte
:
Passo 4
Formo a razão
e simplifico passo a passo:
Agora escrevo isso numa forma que facilite o limite:
Passo 5
Calculo o limite quando
. Para a parte dentro da raiz, fatoro
:
Quando
, temos
e
. Logo a fração tende a
. Assim a raiz tende a
. A outra fator
também tende a
. Portanto
Passo 6
Interpretação: como
, o teste de D’Alembert é inconclusivo — ele não diz se a série converge ou diverge. Então precisamos usar outro teste para concluir. Uma escolha natural e simples aqui é o teste de comparação (ou comparação-limite) com uma série p conhecida.
Passo 7
Observação heurística: para grandes
,
comporta-se como
. Assim o termo
é aproximadamente
A série
é uma série p com
, portanto diverge. Vou formalizar isso com o teste da comparação por limite.
Defino
. Calculo o limite
Escrevendo
, temos
O limite é um número finito e positivo (
). Pelo teste da comparação por limite,
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Como já sabemos que
é divergente (série p com
), concluímos que a série original diverge.
Passo 8
Resumo final e incentivo: aplicamos o teste de D’Alembert e obtivemos
, então o teste da razão não foi suficiente. Em seguida usamos comparação-limite com a série p
e mostramos que o termo geral da nossa série é equivalente a
para
grande, o que implica divergência. Beleza — terminou bem: agora você já sabe aplicar a razão, interpretar o caso
e escolher um teste alternativo.
Resposta
Divergente.