Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}\left(n^{2}+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede para, usando o teste de D’Alembert (teste da razão), verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}\left(n^{2}+2\right)}
é convergente ou divergente.
Informações dadas e o que se pede:
  • A série tem termos positivos e genérico a_n=\dfrac{3^{n}}{2^{n}\left(n^{2}+2\right)}.
  • Queremos aplicar o teste da razão (D’Alembert) e decidir convergência/divergência.

Passo 2

Relembrando o teste de D’Alembert (explicação didática):
  • Seja \{a_n\} uma sequência de termos positivos e considere
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui os termos são positivos, então podemos aplicar o teste sem problemas.

Passo 3

Calcule a_{n+1}. Substituindo n+1 em a_n, obtemos
a_{n+1}=\frac{3^{\,n+1}}{2^{\,n+1}\big((n+1)^{2}+2\big)}.

Passo 4

Forme a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplifique passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{3^{\,n+1}}{2^{\,n+1}\big((n+1)^{2}+2\big)}}{\dfrac{3^{n}}{2^{n}\big(n^{2}+2\big)}} = \frac{3^{\,n+1}}{2^{\,n+1}\big((n+1)^{2}+2\big)}\cdot\frac{2^{n}\big(n^{2}+2\big)}{3^{n}}.
Agora cancelamos potências:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{\,n+1}}{3^{n}}\cdot\frac{2^{n}}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{n^{2}+2}{(n+1)^{2}+2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{n^{2}+2}{(n+1)^{2}+2}.

Passo 5

Calcule o limite quando n\to\infty. Para isso observe a fração racional:
\frac{n^{2}+2}{(n+1)^{2}+2} = \frac{n^{2}\!\left(1+\dfrac{2}{n^{2}}\right)}{n^{2}\!\left(1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{2}{n^{2}}\right)} = \frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1+2}{n^{2}}}.
Ao deixar n\to\infty, todos os termos com 1/n ou 1/n^{2} vão a zero, então essa fração tende a 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}.

Passo 6

Interprete o resultado do teste: o limite L=\dfrac{3}{2} satisfaz L>1. Pelo teste de D’Alembert, se L>1 a série \sum a_n diverge. Intuitivamente, isto significa que, para n grande, cada termo é aproximadamente \dfrac{3}{2} vezes o termo anterior, então os termos não tendem a zero e a soma não pode convergir.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}\left(n^{2}+2\right)} diverge.

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