Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para, usando o teste de D’Alembert (teste da razão), verificar se a série
é convergente ou divergente.
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A série tem termos positivos e genérico
. - Queremos aplicar o teste da razão (D’Alembert) e decidir convergência/divergência.
Passo 2
Relembrando o teste de D’Alembert (explicação didática):
- Seja
uma sequência de termos positivos e considere
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui os termos são positivos, então podemos aplicar o teste sem problemas.
Passo 3
Calcule
. Substituindo
em
, obtemos
Passo 4
Forme a razão
e simplifique passo a passo:
Agora cancelamos potências:
Passo 5
Calcule o limite quando
. Para isso observe a fração racional:
Ao deixar
, todos os termos com
ou
vão a zero, então essa fração tende a
. Portanto
Passo 6
Interprete o resultado do teste: o limite
satisfaz
. Pelo teste de D’Alembert, se
a série
diverge. Intuitivamente, isto significa que, para
grande, cada termo é aproximadamente
vezes o termo anterior, então os termos não tendem a zero e a soma não pode convergir.
Resposta
A série
diverge.