Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}(2+n)!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}(2+n)!}
e pede para verificarmos se ela é convergente ou divergente usando o teste de D’Alembert (teste da razão).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n!}{2^{n}(2+n)!}.
  • Devemos aplicar o teste da razão (comparar a_{n+1} com a_n).
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vou lembrar qual é o teste da razão e como usá‑lo (explicação didática). Seja uma série com termo geral a_n\) (podemos considerar \(a_n\ge 0\) aqui, o que é o caso). Definimos \[L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
As conclusões do teste são:
\begin{cases} \text{se }L<1,\\ \text{a série converge absolutamente (logo converge);}\\[4pt] \text{se }L>1,\\ \text{a série diverge;}\\[4pt] \text{se }L=1,\\ \text{o teste é inconclusivo.} \end{cases}ééé
Comentário intuitivo: o teste compara a série com uma geométrica. Se a razão entre termos tende a um número menor que 1\], a série se comporta como uma geométrica de razão menor que \(1 e converge.]

Passo 3

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{n!}{2^{n}(n+2)!},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}(n+3)!}.
Agora a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{\,n+1}(n+3)!}}{\dfrac{n!}{2^{n}(n+2)!}}.
Para simplificar, multiplico pelo inverso:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}(n+3)!}\cdot\frac{2^{n}(n+2)!}{n!}.

Passo 4

Agora uso propriedades de fatorial e potências para cancelar termos (explico cada passo):
  • (n+1)! = (n+1)\,n!.
  • (n+3)! = (n+3)(n+2)!.
  • 2^{n}/2^{\,n+1} = 1/2.
    Aplicando isso:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{2^{n}}{2^{\,n+1}}\right)\left(\frac{(n+1)!}{n!}\right)\left(\frac{(n+2)!}{(n+3)!}\right) = \frac{1}{2}\cdot (n+1)\cdot\frac{1}{n+3}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2(n+3)}.

Passo 5

Calculemos o limite L quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(n+3)}.
Para ver o limite, divido numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{2(n+3)}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2\bigl(1+\tfrac{3}{n}\bigr)}.
Tomando n\to\infty os termos \tfrac{1}{n} e \tfrac{3}{n} vão a 0, logo
L=\frac{1}{2}.

Passo 6

Aplicando o teste da razão: como L=\dfrac{1}{2}<1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples — portanto a série é convergente.

Resposta

Converge absolutamente (pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\tfrac{1}{2}<1).

Exercícios relacionados