Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}(2+n)!}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}(2+n)!}
e pede para verificarmos se ela é convergente ou divergente usando o teste de D’Alembert (teste da razão).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{n!}{2^{n}(2+n)!}.
Devemos aplicar o teste da razão (comparar a_{n+1} com a_n).
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Vou lembrar qual é o teste da razão e como usá‑lo (explicação didática). Seja uma série com termo geral a_n\) (podemos considerar \(a_n\ge 0\) aqui, o que é o caso). Definimos
\[L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
As conclusões do teste são:
\begin{cases} \text{se }L<1,\\ \text{a série converge absolutamente (logo converge);}\\[4pt] \text{se }L>1,\\ \text{a série diverge;}\\[4pt] \text{se }L=1,\\ \text{o teste é inconclusivo.} \end{cases}
Comentário intuitivo: o teste compara a série com uma geométrica. Se a razão entre termos tende a um número menor que 1\], a série se comporta como uma geométrica de razão menor que \(1 e converge.]
Passo 3
Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
Tomando n\to\infty os termos \tfrac{1}{n} e \tfrac{3}{n} vão a 0, logo
L=\frac{1}{2}.
Passo 6
Aplicando o teste da razão: como L=\dfrac{1}{2}<1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples — portanto a série é convergente.