Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}
é convergente ou divergente usando o teste de D’Alembert. Informação dada: o termo geral da série é a_n=\frac{1}{n+5} para n\ge 1. A tarefa é aplicar o teste de razão (D’Alembert) e decidir sobre a convergência da série.
Passo 2
Apresentando o teste de D’Alembert (teste da razão), de modo bem didático:
Dado uma série com termos a_n (assumiremos a_n>0 aqui, que é o caso), definimos
a_{n+1}/a_n é a razão entre o próximo termo e o termo atual.
O limite L quando n\to\infty nos diz a taxa assintótica de decaimento dos termos.
Conclusões do teste:
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1, a série diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido).
Se L=1, o teste é inconclusivo: não podemos decidir apenas com esse teste.
Essa é a regra: o teste dá uma condição suficiente para convergência e divergência, mas não necessária quando L=1.
Passo 3
Aplicando o teste à série dada. Primeiro escrevemos o termo geral:
Portanto o valor obtido pelo teste de D’Alembert é L=1.
Passo 4
Interpretação do resultado do Passo 3: como L=1, o teste de D’Alembert é inconclusivo — ele não nos diz se a série converge ou diverge. Então precisamos usar outro argumento para decidir. Uma escolha natural é comparar com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
porque para grandes n temos que \dfrac{1}{n+5} tem comportamento muito parecido com \dfrac{1}{n}. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test), que é simples e robusto.
Passo 5
Explicando o teste da comparação por limite (didaticamente):
Se a_n>0 e b_n>0 e o limite
\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<\ell<\infty (ou seja, é um número positivo finito), então as duas séries \sum a_n e \sum b_n são ou ambas convergentes ou ambas divergentes.
Aqui escolho b_n=\dfrac{1}{n} (termos da série harmônica), porque é o comparador óbvio.
Passo 6
Aplicando o teste da comparação por limite ao nosso caso:
Obtivemos \ell=1, que é um número positivo e finito. Pelo teste de comparação por limite, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+5} tem o mesmo comportamento da série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}.
Passo 7
Só falta lembrar (ou provar rapidamente) que a série harmônica diverge. Uma prova curta e clássica por agrupamento:
\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2},
e assim por diante. Portanto somamos infinitos blocos maiores ou iguais a 1/2, o que diverge para infinito. Logo a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} diverge.
Resposta
A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+5} é divergente.