Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+5}
é convergente ou divergente usando o teste de D’Alembert. Informação dada: o termo geral da série é a_n=\frac{1}{n+5} para n\ge 1. A tarefa é aplicar o teste de razão (D’Alembert) e decidir sobre a convergência da série.

Passo 2

Apresentando o teste de D’Alembert (teste da razão), de modo bem didático:
  • Dado uma série com termos a_n (assumiremos a_n>0 aqui, que é o caso), definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Interpretação do que cada símbolo quer dizer:
    • a_n é o n-ésimo termo da série.
    • a_{n+1}/a_n é a razão entre o próximo termo e o termo atual.
    • O limite L quando n\to\infty nos diz a taxa assintótica de decaimento dos termos.
  • Conclusões do teste:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1, a série diverge (os termos não tendem a zero suficientemente rápido).
    • Se L=1, o teste é inconclusivo: não podemos decidir apenas com esse teste.
      Essa é a regra: o teste dá uma condição suficiente para convergência e divergência, mas não necessária quando L=1.

Passo 3

Aplicando o teste à série dada. Primeiro escrevemos o termo geral:
a_n=\frac{1}{n+5},\qquad a_{n+1}=\frac{1}{n+6}.
Agora calculamos a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{1}{n+6}}{\dfrac{1}{n+5}}=\frac{n+5}{n+6}.
Tomamos agora o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+5}{n+6}.
Para calcular esse limite, dividimos numerador e denominador por n:
\frac{n+5}{n+6}=\frac{1+\dfrac{5}{n}}{1+\dfrac{6}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1+0}{1+0}=1.
Portanto o valor obtido pelo teste de D’Alembert é L=1.

Passo 4

Interpretação do resultado do Passo 3: como L=1, o teste de D’Alembert é inconclusivo — ele não nos diz se a série converge ou diverge. Então precisamos usar outro argumento para decidir. Uma escolha natural é comparar com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
porque para grandes n temos que \dfrac{1}{n+5} tem comportamento muito parecido com \dfrac{1}{n}. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test), que é simples e robusto.

Passo 5

Explicando o teste da comparação por limite (didaticamente):
  • Se a_n>0 e b_n>0 e o limite
\ell=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<\ell<\infty (ou seja, é um número positivo finito), então as duas séries \sum a_n e \sum b_n são ou ambas convergentes ou ambas divergentes.
Aqui escolho b_n=\dfrac{1}{n} (termos da série harmônica), porque é o comparador óbvio.

Passo 6

Aplicando o teste da comparação por limite ao nosso caso:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n+5}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+5}.
Calculamos esse limite dividindo por n:
\frac{n}{n+5}=\frac{1}{1+\dfrac{5}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{1+0}=1.
Obtivemos \ell=1, que é um número positivo e finito. Pelo teste de comparação por limite, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+5} tem o mesmo comportamento da série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}.

Passo 7

Só falta lembrar (ou provar rapidamente) que a série harmônica diverge. Uma prova curta e clássica por agrupamento:
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots
agrupando termos temos
\left(1\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
cada grupo tem soma maior ou igual a 1/2:
  • \frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},
  • \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2},
    e assim por diante. Portanto somamos infinitos blocos maiores ou iguais a 1/2, o que diverge para infinito. Logo a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} diverge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+5} é divergente.

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