Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n 4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede: “Usando o teste de D 'Alambert verifique se a série abaixo é convergente ou divergente.” A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\,4^{n}}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n+1}{n\,4^{n}}.
  • Os termos a_n são positivos para todo n\ge 1 (pois n+1>0, n>0 e 4^n>0).
  • O enunciado pede explicitamente para usarmos o teste de D’Alembert (teste da razão).

Passo 2

O que é o teste de D’Alembert (razão) e como usá-lo? Vou explicar com calma.
  • Seja uma série de termos positivos \sum a_n (ou, de forma geral, podemos aplicar ao módulo dos termos para testar convergência absoluta).
  • Definimos o quociente
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
se esse limite existir (ou considerar o limite superior).
  • Regra do teste:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo (não nos diz).
      Explicação do porquê, informalmente: se \frac{a_{n+1}}{a_n} tende a um número menor que 1, os termos decrescem geometricamente a partir de certo n e a série comporta-se como uma série geométrica convergente; se tende a algo maior que 1, os termos não tendem a zero e a série diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o teste: primeiro escrevemos o termo geral e o termo seguinte.
  • Definimos
a_n=\frac{n+1}{n\,4^{n}}.
  • Então
a_{n+1}=\frac{(n+1)+1}{(n+1)\,4^{\,n+1}}=\frac{n+2}{(n+1)\,4^{\,n+1}}.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo, simplificando cuidadosamente.
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+2}{(n+1)\,4^{n+1}}}{\dfrac{n+1}{n\,4^{n}}} = \frac{n+2}{(n+1)\,4^{n+1}}\cdot\frac{n\,4^{n}}{n+1}.
Agora combinamos fatores:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n(n+2)\,4^{n}}{(n+1)^{2}\,4^{n+1}}.
Como 4^{n}/4^{n+1}=1/4, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{4}\cdot\frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}}.
Podemos escrever explicitamente os polinômios:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{4}\cdot\frac{n^{2}+2n}{n^{2}+2n+1}.

Passo 5

Agora calculamos o limite L quando n\to\infty.
  • Observação sobre limites de razões de polinômios: quando n\to\infty, a razão \dfrac{n^{2}+2n}{n^{2}+2n+1} tende para o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui n^{2}), ou seja, tende para 1.
  • Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{4}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+2n}{n^{2}+2n+1} = \frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{1}{4}.
Como resultado, L=\dfrac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação do resultado segundo o teste de D’Alembert:
  • Encontramos L=\dfrac{1}{4}.
  • Como L<1, pela regra do teste de D’Alembert a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente. Em particular, ela converge.
    Breve intuição: o fato de o quociente tender a 1/4 diz que, para n grande, os termos se comportam aproximadamente como uma sequência geométrica com razão 1/4, e séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Passo 7

Se quisermos ver explicitamente que a série converge e até calcular sua soma (opcional, só para aprender), podemos reescrever o termo:
\frac{n+1}{n\,4^{n}}=\frac{1}{4^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right).
Então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,4^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,4^{n}}.
  • A primeira soma é geométrica: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{4^{n}}=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac{1}{3}.
  • A segunda soma é a série do tipo logarítmico: para |x|<1 vale \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x). Tomando x=\dfrac{1}{4} obtemos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n\,4^{n}}=-\ln\!\left(1-\tfrac{1}{4}\right)=\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right).
  • Assim a soma total (opcional) seria
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\,4^{n}}=\frac{1}{3}+\ln\!\left(\frac{4}{3}\right),
confirmando a convergência e dando até o valor exacto da soma.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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