Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede: “Usando o teste de D 'Alambert verifique se a série abaixo é convergente ou divergente.” A série dada é
Informações fornecidas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - Os termos
são positivos para todo (pois , e ). - O enunciado pede explicitamente para usarmos o teste de D’Alembert (teste da razão).
Passo 2
O que é o teste de D’Alembert (razão) e como usá-lo? Vou explicar com calma.
- Seja uma série de termos positivos
(ou, de forma geral, podemos aplicar ao módulo dos termos para testar convergência absoluta). - Definimos o quociente
se esse limite existir (ou considerar o limite superior).
- Regra do teste:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não nos diz).
Explicação do porquê, informalmente: setende a um número menor que , os termos decrescem geometricamente a partir de certo e a série comporta-se como uma série geométrica convergente; se tende a algo maior que , os termos não tendem a zero e a série diverge.
- Se
Passo 3
Vamos aplicar o teste: primeiro escrevemos o termo geral e o termo seguinte.
- Definimos
- Então
Passo 4
Calculemos a razão
passo a passo, simplificando cuidadosamente.
Agora combinamos fatores:
Como
, obtemos
Podemos escrever explicitamente os polinômios:
Passo 5
Agora calculamos o limite
quando
.
- Observação sobre limites de razões de polinômios: quando
, a razão tende para o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui ), ou seja, tende para . - Portanto
Como resultado,
.
Passo 6
Interpretação do resultado segundo o teste de D’Alembert:
- Encontramos
. - Como
, pela regra do teste de D’Alembert a série converge absolutamente. Em particular, ela converge.
Breve intuição: o fato de o quociente tender adiz que, para grande, os termos se comportam aproximadamente como uma sequência geométrica com razão , e séries geométricas com razão menor que convergem.
Passo 7
Se quisermos ver explicitamente que a série converge e até calcular sua soma (opcional, só para aprender), podemos reescrever o termo:
Então
- A primeira soma é geométrica:
- A segunda soma é a série do tipo logarítmico: para
vale . Tomando obtemos - Assim a soma total (opcional) seria
confirmando a convergência e dando até o valor exacto da soma.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).