Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o teste de D’Alembert, se a série
é convergente ou divergente. As informações relevantes são:
- O termo geral da série é
para . - A série tem termos positivos (cada
). - Queremos aplicar o teste de D’Alembert (teste da razão).
Passo 2
Explicando o teste de D’Alembert (de forma simples e prática):
- Para uma série com termos positivos
, definimos
- Se
, a série converge (convergência absoluta). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição curta: comparar a série com uma série geométrica. Se a razão assintótica entre termos tende para um número menor que 1, a série se comporta como uma geométrica convergente; se tende para maior que 1, ela cresce como uma geométrica divergente.
Passo 3
Calculemos a razão
para o nosso
.
Começamos substituindo:
Começamos substituindo:
Portanto
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
Quando
os termos com
e
vão a zero, logo a fração tende a
. Portanto
Como
, pelo teste de D’Alembert a série diverge.
Passo 5
Interpretação final e observação prática: o limite da razão entre termos é
, maior que
. Isso indica que os termos não diminuem rápido o suficiente — na verdade a sequência de termos comporta-se, em longo prazo, de maneira semelhante a uma sequência geométrica com razão
(o que faz os termos crescerem), portanto a soma não pode convergir. Além disso, como consequência direta, os termos
não tendem a zero rápido o suficiente, reforçando a divergência.
Resposta
A série diverge.