Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o teste de D’Alembert, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n^{2}+2}
é convergente ou divergente. As informações relevantes são:
  • O termo geral da série é a_{n}=\dfrac{3^{n}}{n^{2}+2} para n=1,2,3,\dots.
  • A série tem termos positivos (cada a_{n}>0).
  • Queremos aplicar o teste de D’Alembert (teste da razão).

Passo 2

Explicando o teste de D’Alembert (de forma simples e prática):
  • Para uma série com termos positivos \sum a_{n}, definimos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
  • Se L<1, a série converge (convergência absoluta).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Intuição curta: comparar a série com uma série geométrica. Se a razão assintótica entre termos tende para um número menor que 1, a série se comporta como uma geométrica convergente; se tende para maior que 1, ela cresce como uma geométrica divergente.

Passo 3

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} para o nosso a_{n}.
Começamos substituindo:
a_{n}=\frac{3^{n}}{n^{2}+2},\qquad a_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{2}+2}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\dfrac{3^{n+1}}{(n+1)^{2}+2}}{\dfrac{3^{n}}{n^{2}+2}} = 3\cdot\frac{n^{2}+2}{(n+1)^{2}+2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty} 3\cdot\frac{n^{2}+2}{(n+1)^{2}+2}.
Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}+2}{(n+1)^{2}+2} = \frac{1+\dfrac{2}{n^{2}}}{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^{2}}}.
Quando n\to\infty os termos com 1/n e 1/n^{2} vão a zero, logo a fração tende a 1. Portanto
L = 3\cdot 1 = 3.
Como L=3>1, pelo teste de D’Alembert a série diverge.

Passo 5

Interpretação final e observação prática: o limite da razão entre termos é 3, maior que 1. Isso indica que os termos não diminuem rápido o suficiente — na verdade a sequência de termos comporta-se, em longo prazo, de maneira semelhante a uma sequência geométrica com razão 3 (o que faz os termos crescerem), portanto a soma não pode convergir. Além disso, como consequência direta, os termos a_{n} não tendem a zero rápido o suficiente, reforçando a divergência.

Resposta

A série diverge.

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