Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o teste da integral, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^{2}+1}
é convergente ou divergente. As informações dadas são: a fórmula do termo geral é \frac{\arctan n}{n^{2}+1} para n=1,2,3,\dots, e devemos aplicar o teste da integral (logo vamos comparar com a integral de uma função adequada definida para x\ge1).

Passo 2

Para aplicar o teste da integral vamos associar à série a função contínua
f(x)=\frac{\arctan x}{x^{2}+1},\qquad x\ge1.
Lembrando os requisitos do teste da integral: precisamos que f seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [1,\infty). Se isso ocorrer, a série \sum_{n=1}^\infty f(n) convergirá se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx for convergente. Nos próximos passos verificamos essas hipóteses e calculamos a integral.

Passo 3

Verificação de positividade e continuidade de f em [1,\infty).
  • Para x\ge1 temos \arctan x\in\big[\arctan 1,\tfrac{\pi}{2}\big)=\big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\big), então \arctan x>0.
  • O denominador x^{2}+1>0 para todo x.
  • Portanto f(x)=\dfrac{\arctan x}{x^{2}+1}>0 para todo x\ge1.
  • As funções \arctan x e x\mapsto x^{2}+1 são contínuas, e divisão por x^{2}+1 (não nulo) preserva continuidade, logo f é contínua em [1,\infty).
Assim, os requisitos de positividade e continuidade estão satisfeitos.

Passo 4

Verificação de que f é decrescente em [1,\infty).
Calculemos a derivada de f. Usando a regra do quociente ou produto com (x^{2}+1)^{-1}, temos
f'(x)=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2x\,\arctan x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-2x\,\arctan x}{(x^{2}+1)^{2}}.
O denominador (x^{2}+1)^{2} é positivo para todo x. Para o numerador observe que, para x\ge1,
\arctan x\ge \arctan 1=\frac{\pi}{4}.
Logo
2x\,\arctan x \ge 2\cdot 1\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}>1,
portanto 1-2x\,\arctan x<0 para todo x\ge1. Assim f'(x)<0 em [1,\infty), o que mostra que f é estritamente decrescente nesse intervalo. Assim todas as hipóteses do teste da integral estão confirmadas.

Passo 5

Cálculo da integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazemos a substituição natural
u=\arctan x\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Logo
\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx = u\,du.
Os limites transformam-se assim: quando x=1 temos u=\arctan 1=\tfrac{\pi}{4}; quando x\to\infty temos u\to\arctan(\infty)=\tfrac{\pi}{2}. Portanto
\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx =\int_{\pi/4}^{\pi/2} u\,du.
Agora integramos:
\int_{\pi/4}^{\pi/2} u\,du = \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{u=\pi/4}^{u=\pi/2} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}\right).
Calculemos a diferença:
\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{\pi^{2}}{16}=\frac{3\pi^{2}}{16}.
Portanto
\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\pi^{2}}{16}=\frac{3\pi^{2}}{32},
que é um número finito. Concluímos que a integral imprópria converge.

Passo 6

Conclusão pelo teste da integral: como f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \tfrac{3\pi^{2}}{32}), o teste da integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^{2}+1}
converge. Como os termos são todos positivos, a convergência é, obviamente, convergência absoluta.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^{2}+1} é convergente (convergência absoluta).

Exercícios relacionados