Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o teste da integral, se a série
é convergente ou divergente. As informações dadas são: a fórmula do termo geral é
para
, e devemos aplicar o teste da integral (logo vamos comparar com a integral de uma função adequada definida para
).
Passo 2
Para aplicar o teste da integral vamos associar à série a função contínua
Lembrando os requisitos do teste da integral: precisamos que
seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente em
. Se isso ocorrer, a série
convergirá se, e somente se, a integral imprópria
for convergente. Nos próximos passos verificamos essas hipóteses e calculamos a integral.
Passo 3
Verificação de positividade e continuidade de
em
.
- Para
temos , então . - O denominador
para todo . - Portanto
para todo . - As funções
e são contínuas, e divisão por (não nulo) preserva continuidade, logo é contínua em .
Assim, os requisitos de positividade e continuidade estão satisfeitos.
Passo 4
Verificação de que
é decrescente em
.
Calculemos a derivada de
. Usando a regra do quociente ou produto com
, temos
O denominador
é positivo para todo
. Para o numerador observe que, para
,
Logo
portanto
para todo
. Assim
em
, o que mostra que
é estritamente decrescente nesse intervalo. Assim todas as hipóteses do teste da integral estão confirmadas.
Passo 5
Cálculo da integral imprópria
.
Fazemos a substituição natural
Logo
Os limites transformam-se assim: quando
temos
; quando
temos
. Portanto
Agora integramos:
Calculemos a diferença:
Portanto
que é um número finito. Concluímos que a integral imprópria converge.
Passo 6
Conclusão pelo teste da integral: como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (vale
), o teste da integral garante que a série
converge. Como os termos são todos positivos, a convergência é, obviamente, convergência absoluta.
Resposta
A série
é convergente (convergência absoluta).