Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)^{3}}
é convergente ou divergente, usando o teste de D’Alembert.
Informações dadas e o que vamos usar imediatamente: o termo geral da série é
a_n=\frac{n!}{(n+2)^{3}}.
A única pergunta é: a série é convergente ou divergente?
Passo 2
Vou lembrar o que é o teste de D’Alembert (teste da razão) e como aplicá‑lo. Seja uma série com termos a_n\) (assumimos \(a_n>0\) aqui). Definimos
\[r=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
As conclusões do teste são:
\begin{cases} \text{se } r<1 \text{, a série converge (absolutamente);}\\[4pt] \text{se } r>1 \text{ (ou } r=\infty\text{), a série diverge;}\\[4pt] \text{se } r=1 \text{, o teste é inconclusivo.} \end{cases}
Aqui a_{n}\] é o \(n-ésimo termo da série; o teste compara o termo seguinte com o atual para ver se os termos diminuem rápido o suficiente.]
Passo 3
Vamos calcular explicitamente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevemos a_{n+1}:
Ou seja, o limite r do teste de D’Alembert é r=\infty, que é maior que 1.
Passo 6
Pelo critério do teste de D’Alembert, se r>1 (aqui r=\infty), a série diverge. Uma interpretação intuitiva: os termos não estão decrescendo suficientemente — na verdade n! cresce muito mais rápido que (n+2)^3, então os termos a_n não tendem a zero (crescem sem limite), e portanto a soma não pode convergir.