Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)^{3}}
é convergente ou divergente, usando o teste de D’Alembert.
Informações dadas e o que vamos usar imediatamente: o termo geral da série é
a_n=\frac{n!}{(n+2)^{3}}.
A única pergunta é: a série é convergente ou divergente?

Passo 2

Vou lembrar o que é o teste de D’Alembert (teste da razão) e como aplicá‑lo. Seja uma série com termos a_n\) (assumimos \(a_n>0\) aqui). Definimos \[r=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
As conclusões do teste são:
\begin{cases} \text{se } r<1 \text{, a série converge (absolutamente);}\\[4pt] \text{se } r>1 \text{ (ou } r=\infty\text{), a série diverge;}\\[4pt] \text{se } r=1 \text{, o teste é inconclusivo.} \end{cases}ééé
Aqui a_{n}\] é o \(n-ésimo termo da série; o teste compara o termo seguinte com o atual para ver se os termos diminuem rápido o suficiente.]

Passo 3

Vamos calcular explicitamente \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevemos a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+3)^{3}}.
Agora a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+3)^3}}{\dfrac{n!}{(n+2)^3}} = \frac{(n+1)!\,(n+2)^3}{n!\,(n+3)^3}.

Passo 4

Simplificamos a razão usando (n+1)! = (n+1)\,n!:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)\cdot\frac{(n+2)^3}{(n+3)^3}.
Uma forma conveniente de ver o comportamento quando n\to\infty é escrever
\frac{(n+2)^3}{(n+3)^3}=\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^3 =\left(1-\frac{1}{n+3}\right)^3.
À medida que n\to\infty, temos \dfrac{n+2}{n+3}\to 1, logo
\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^3 \to 1.

Passo 5

Agora multiplica-se isso por (n+1). Como (n+1)\to\infty e o fator cúbico tende a 1, o produto tende a \infty. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}(n+1)\left(\frac{n+2}{n+3}\right)^3 =\infty.
Ou seja, o limite r do teste de D’Alembert é r=\infty, que é maior que 1.

Passo 6

Pelo critério do teste de D’Alembert, se r>1 (aqui r=\infty), a série diverge. Uma interpretação intuitiva: os termos não estão decrescendo suficientemente — na verdade n! cresce muito mais rápido que (n+2)^3, então os termos a_n não tendem a zero (crescem sem limite), e portanto a soma não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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