Usando o teste de comparação com limite, estudar a convergência da série .

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty sinl(1/nr). O conteúdo aqui é análise de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação com limite, que exige calcular o limite limntoinfty an/bn para comparar com uma série conhecida.

Passo 2

Para aplicar o teste, escolhemos a série harmônica sum 1/n como referência, pois temos para grandes n que 1/n é um termo simples e bem conhecido. Precisamos então avaliar o limite
limntoinfty sinl(1/nr)1/n

Passo 3

Lembrando que, na teoria de limites, vale limxto0sin xx=1. Como 1/nto0 quando ntoinfty, obtemos
limntoinfty sin(1/n)1/n = 1
Esse resultado diz que há uma constante L=1 tal que as sequências an=sin(1/n) e bn=1/n são equivalentes em relação ao teste de comparação com limite.

Passo 4

Pelo teste de comparação com limite, se 0, então as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Como se sabe que a série harmônica sum1/n diverge, conclui-se que
sumn=1^infty sin(1/n) também diverge.

Resposta

A série diverge.

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