Usando o teste de comparação com limite, estudar a convergência da série
.
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo aqui é análise de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação com limite, que exige calcular o limite
para comparar com uma série conhecida.
Passo 2
Para aplicar o teste, escolhemos a série harmônica
como referência, pois temos para grandes
que
é um termo simples e bem conhecido. Precisamos então avaliar o limite
Passo 3
Lembrando que, na teoria de limites, vale
. Como
quando
, obtemos
Esse resultado diz que há uma constante
tal que as sequências
e
são equivalentes em relação ao teste de comparação com limite.
Passo 4
Pelo teste de comparação com limite, se
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Como se sabe que a série harmônica
diverge, conclui-se que
também diverge.
Resposta
A série diverge.