Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4 n^{2}+n+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4 n^{2}+n+1}
é convergente ou divergente. Informações dadas e objetivas que temos:
\;a_n=\dfrac{n}{4n^{2}+n+1} é o termo geral da série.
A tarefa é decidir convergência ou divergência dessa soma infinita.

Passo 2

Vamos aplicar primeiro o teste de D’Alembert (teste da razão). Antes de calcular, uma explicação didática do teste:
O teste de D’Alembert diz: para uma série de termos positivos \{a_n\}, considere
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não dá informação).
Aqui \;a_n=\dfrac{n}{4n^{2}+n+1} é positivo para n\ge1, então o teste é aplicável.

Passo 3

Calculemos a_{n+1}. Substituindo n\mapsto n+1 em a_n obtemos:
a_{n+1}=\frac{n+1}{4(n+1)^{2}+(n+1)+1}.
Expandindo o denominador:
4(n+1)^2+(n+1)+1 = 4(n^2+2n+1)+n+1+1 = 4n^2+8n+4 + n+2 = 4n^2+9n+6.
Logo
a_{n+1}=\frac{n+1}{4n^2+9n+6}.

Passo 4

Agora formamos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+1}{4n^2+9n+6}}{\dfrac{n}{4n^2+n+1}} = \frac{n+1}{4n^2+9n+6}\cdot\frac{4n^2+n+1}{n}.
Separe fatores fáceis de interpretar:
\frac{n+1}{n}=\;1+\frac{1}{n},
então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{4n^2+n+1}{4n^2+9n+6}.

Passo 5

Vamos calcular o limite quando n\to\infty. Uma forma clara é dividir numerador e denominador das frações polinomiais por n^2:
\frac{4n^2+n+1}{4n^2+9n+6} = \frac{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{4+\dfrac{9}{n}+\dfrac{6}{n^2}}.
Quando n\to\infty os termos com 1/n e 1/n^2 vão a zero, então essa fração tende a \dfrac{4}{4}=1. Além disso \;1+\dfrac{1}{n}\to1. Assim
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1\cdot 1 = 1.
Portanto, pelo teste de D’Alembert, o caso é inconclusivo (já que L=1).

Passo 6

Como o teste da razão deu L=1 e não decidiu, escolhemos um método complementar mais simples: o teste da comparação (ou melhor, teste da comparação limite) com a série harmônica. Explico o teste de comparação limite:
Se a_n e b_n são termos positivos e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c
com 0<c<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui a comparação natural é com b_n=\dfrac{1}{n} (a série harmônica), porque para grandes n
\dfrac{n}{4n^2+n+1} tem ordem parecida com \dfrac{1}{n} (observe o fator n/(n^2)).

Passo 7

Calculemos o limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{4n^2+n+1}}{\dfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{4n^2+n+1}.
Dividindo por n^2:
\frac{n^2}{4n^2+n+1} = \frac{1}{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}} \longrightarrow \frac{1}{4}.
O limite é 1/4, que é um número finito e positivo. Pelo teste da comparação limite, \sum a_n e \sum 1/n têm o mesmo comportamento.

Passo 8

Sabemos que a série harmônica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} diverge (é um caso clássico: série p- com p=1). Como o limite de comparação deu constante positiva \dfrac{1}{4}, a série dada também diverge.

Resposta

Divergente

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