Usando o teste de D 'Alambert verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e objetivas que temos:
é o termo geral da série.
A tarefa é decidir convergência ou divergência dessa soma infinita.
A tarefa é decidir convergência ou divergência dessa soma infinita.
Passo 2
Vamos aplicar primeiro o teste de D’Alembert (teste da razão). Antes de calcular, uma explicação didática do teste:
O teste de D’Alembert diz: para uma série de termos positivos
, considere
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não dá informação).
Aqui
é positivo para
, então o teste é aplicável.
Passo 3
Calculemos
. Substituindo
em
obtemos:
Expandindo o denominador:
Logo
Passo 4
Agora formamos a razão
:
Separe fatores fáceis de interpretar:
então
Passo 5
Vamos calcular o limite quando
. Uma forma clara é dividir numerador e denominador das frações polinomiais por
:
Quando
os termos com
e
vão a zero, então essa fração tende a
. Além disso
. Assim
Portanto, pelo teste de D’Alembert, o caso é inconclusivo (já que
).
Passo 6
Como o teste da razão deu
e não decidiu, escolhemos um método complementar mais simples: o teste da comparação (ou melhor, teste da comparação limite) com a série harmônica. Explico o teste de comparação limite:
Se
e
são termos positivos e
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui a comparação natural é com
(a série harmônica), porque para grandes
tem ordem parecida com
(observe o fator
).
Passo 7
Calculemos o limite de comparação:
Dividindo por
:
O limite é
, que é um número finito e positivo. Pelo teste da comparação limite,
e
têm o mesmo comportamento.
Passo 8
Sabemos que a série harmônica
diverge (é um caso clássico: série
- com
). Como o limite de comparação deu constante positiva
, a série dada também diverge.
Resposta
Divergente