Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (j) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n^{2}+1}}
Passo 1
O enunciado pede para, usando o teste da integral, verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^{2}+1}}
é convergente ou divergente. As informações relevantes são:
a_n=\frac{1}{n\sqrt{n^{2}+1}},\quad n=1,2,3,\dots
e devo aplicar o teste da integral, que exige considerar a função correspondente
f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}
definida para x\ge1, verificar as hipóteses do teste (positividade, continuidade e monotonia decrescente para x\ge1) e estudar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Passo 2
Vou explicar o teste da integral (forma que usaremos aqui) de maneira direta e prática: se f é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty) e a_n=f(n), então as duas afirmações são equivalentes:
Ou seja, basta checar as hipóteses e analisar a integral imprópria. Se a integral for finita (convergente), a série converge; se a integral divergir, a série diverge.
Passo 3
Verifico as hipóteses para f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}} em [1,\infty):
Positividade: para x\ge1 temos x>0 e \sqrt{x^{2}+1}>0, logo f(x)>0.
Continuidade: f é composta por funções polinomiais e raiz quadrada no domínio x\ge1, logo é contínua em [1,\infty).
Monotonia decrescente: calculo a derivada de f. Primeiro escrevo
Como para x>0 temos 2x^{2}+1>0, x(x^{2}+1)>0 e f(x)>0, segue que f'(x)<0 para todo x>0. Em particular, f é decrescente em [1,\infty).
Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Agora aplico o teste estudando a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
Vou calcular essa integral. Uma substituição conveniente para integrais com \sqrt{x^{2}+1} é x=\operatorname{sinh} u, porque \sqrt{x^{2}+1}=\operatorname{cosh} u e dx=\operatorname{cosh} u\,du. Faço essa substituição e mudo os limites: quando x=1, u=\operatorname{asinh}(1)=\ln(1+\sqrt{2}); quando x\to\infty, u\to\infty.
Quando R\to\infty temos \operatorname{tanh}\frac{R}{2}\to1, logo \ln\bigl(\operatorname{tanh}\frac{R}{2}\bigr)\to\ln 1=0. Portanto o valor da integral é
que é um número finito (positivo). Portanto a integral converge.
Observação alternativa rápida (intuição): para x grande \sqrt{x^{2}+1}\sim x, então o integrando se comporta como 1/x^{2}, e sabemos que \int_{1}^{\infty}1/x^{2}\,dx converge; isso também sugere convergência, mas a conta anterior é o cálculo exato pelo teste da integral.
Passo 7
Pelo teste da integral, como \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}\,dx converge e f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}} é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), concluímos que a série