Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras:
Se an>0, forall n in N e lim n infty n^2 an=1 então sumn=0^infty an diverge

Passo 1

O enunciado afirma que ,an>0 para todo ninN e que
limntoinftyn^2an=1.
Queremos determinar se a série
sumn=0^inftyan diverge ou converge. Como o termo n=0 não afeta a convergência, analisamos
sumn=1^inftyan.

Passo 2

Aplicamos o teste da comparação por limite entre ,an e ,1/n^2. Calculamos
limntoinftyan1/n^2 =limntoinftyn^2an =1
Como esse limite é finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento assintótico.

Passo 3

Recordamos que a série
sumn=1^infty1n^2
é convergente, pois é uma p-série com p=2>1.

Passo 4

Pelo teste da comparação por limite, como sum1/n^2 converge e
lim(an/(1/n^2))=1in(0,infty), concluímos que
sumn=1^inftyan converge.

Resposta

A afirmação é falsa.

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