Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(k) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(1+\ln ^{2} n\right)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(1+\ln^{2}n\right)}
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • A série é a soma dos termos \dfrac{1}{n\left(1+\ln^{2}n\right)} para n=1,2,3,\dots.
  • Note que para n=1 temos \ln 1=0, então o primeiro termo é \dfrac{1}{1(1+0)}=\dfrac{1}{1}=1 (finito).
  • Precisamos decidir se a soma infinita dos termos acima converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Vou usar o Teste da Integral. Antes de aplicar, é bom lembrar o que o teste diz (explicação didática):
  • Seja f(x) uma função positiva, contínua e decrescente em [N,\infty) para algum N\ge1.
  • O Teste da Integral afirma que a série \sum_{n=N}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge.
    Explicando as condições em linguagem simples:
  • “Positiva” significa f(x)>0 para x\ge N.
  • “Contínua” significa sem quebras para x\ge N.
  • “Decrescente” significa f'(x)\le0 para x\ge N.
    Se essas condições forem satisfeitas, avaliar a integral é muitas vezes mais fácil do que somar os termos.

Passo 3

Defino a função apropriada para aplicar o teste:
f(x)=\frac{1}{x\left(1+\ln^{2}x\right)},\qquad x\ge1.
Verificações básicas:
  • Positividade: para x\ge1 temos x>0 e 1+\ln^{2}x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f(x) é contínua para x>0 (não há divisão por zero nem logaritmo mal definido para x>0); assim em [1,\infty) é contínua.
    Resta verificar que f é decrescente em [1,\infty).

Passo 4

Mostro que f é decrescente para x\ge1 calculando a derivada e analisando o sinal (faça devagar que é tranquilo):
Começo de novo com
f(x)=x^{-1}\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)^{-1}.
Derivando (usando a regra do produto e a regra da cadeia):
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)}-\frac{2\ln x}{x^{2}\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)^{2}}.
Colocando em denominador comum e simplificando o numerador:
f'(x)=-\frac{1+\ln^{2}x+2\ln x}{x^{2}\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)^{2}} =-\frac{(\ln x+1)^{2}}{x^{2}\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)^{2}}.
Observações:
  • O denominador x^{2}\bigl(1+\ln^{2}x\bigr)^{2} é positivo para x>0.
  • O numerador (\ln x+1)^{2} é um quadrado, logo \ge0, e para x\ge1 tem \ln x\ge0 então \ln x+1>0, assim o quadrado é estritamente positivo.
    Portanto f'(x)<0 para todo x\ge1, ou seja, f é estritamente decrescente em [1,\infty).
    Como f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 5

Aplicamos o Teste da Integral avaliando a integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x\left(1+\ln^{2}x\right)}\,dx.
Fazemos a substituição padrão para integrar funções com \ln x:
t=\ln x\quad\Longrightarrow\quad dt=\frac{dx}{x}.
Quando x=1 temos t=0. Quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 6

Avalio a integral transformada:
  • A primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t.
  • Então
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\lim_{T\to\infty}\bigl[\arctan t\bigr]_{0}^{T} =\lim_{T\to\infty}\bigl(\arctan T-\arctan 0\bigr)=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
A integral é finita (igual a \dfrac{\pi}{2}), ou seja, a integral imprópria converge.

Passo 7

Pelo Teste da Integral, como f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale \dfrac{\pi}{2}), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(1+\ln^{2}n\right)}
converge.

Resposta

Convergente.

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