Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações iniciais:
- A série é a soma dos termos
para . - Note que para
temos , então o primeiro termo é (finito). - Precisamos decidir se a soma infinita dos termos acima converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Vou usar o Teste da Integral. Antes de aplicar, é bom lembrar o que o teste diz (explicação didática):
- Seja
uma função positiva, contínua e decrescente em para algum . - O Teste da Integral afirma que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria converge.
Explicando as condições em linguagem simples: - “Positiva” significa
para . - “Contínua” significa sem quebras para
. - “Decrescente” significa
para .
Se essas condições forem satisfeitas, avaliar a integral é muitas vezes mais fácil do que somar os termos.
Passo 3
Defino a função apropriada para aplicar o teste:
Verificações básicas:
- Positividade: para
temos e , logo . - Continuidade:
é contínua para (não há divisão por zero nem logaritmo mal definido para ); assim em é contínua.
Resta verificar queé decrescente em .
Passo 4
Mostro que
é decrescente para
calculando a derivada e analisando o sinal (faça devagar que é tranquilo):
Começo de novo com
Começo de novo com
Derivando (usando a regra do produto e a regra da cadeia):
Colocando em denominador comum e simplificando o numerador:
Observações:
- O denominador
é positivo para . - O numerador
é um quadrado, logo , e para tem então , assim o quadrado é estritamente positivo.
Portantopara todo , ou seja, é estritamente decrescente em .
Comoé positiva, contínua e decrescente em , podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 5
Aplicamos o Teste da Integral avaliando a integral imprópria associada:
Fazemos a substituição padrão para integrar funções com
:
Quando
temos
. Quando
temos
. A integral transforma-se em
Passo 6
Avalio a integral transformada:
- A primitiva de
é . - Então
A integral é finita (igual a
), ou seja, a integral imprópria converge.
Passo 7
Pelo Teste da Integral, como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge (vale
), concluímos que a série
converge.
Resposta
Convergente.