Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2^{n}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas: os termos gerais são (-1)^{n-1}\frac{2^{n}}{n!} para n=1,2,\dots. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Primeiro preciso lembrar o que cada termo da pergunta significa (rapidinho, sem medo):
  • Uma série é absolutamente convergente se a série das magnitudes dos termos converge, isto é, se \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|converge, onde a_n é o termo geral original.
  • Se a série original converge mas a série das magnitudes diverge, chama-se convergência condicional.
  • Se a série original não converge, é divergente.
Aqui o termo geral é a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{2^n}{n!}. A série das magnitudes é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!},
que tem todos os termos positivos. Vou testar a convergência dessa série para decidir sobre a absoluta.

Passo 3

Vou usar o Teste da Razão (ratio test), que é ótimo quando aparece fatorial. O teste diz: para termos positivos b_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}.
Se L<1 a série \sum b_n converge; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.
Aqui tomo b_n=\dfrac{2^n}{n!}. Vou calcular a razão b_{n+1}/b_n.

Passo 4

Calculemos explicitamente a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.
Como 0<1, pelo Teste da Razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!} converge. Portanto a série das magnitudes converge, e a série original é absolutamente convergente.

Passo 5

Comentário adicional (didático e prático): quando aparece \dfrac{2^n}{n!} você pode também reconhecer a série da exponencial:
e^2=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!},
então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}=e^2-1,
o que mostra de forma direta que a soma das magnitudes é finita. Ambas as abordagens (reconhecer e^x ou usar razão) são válidas; na prova, o Teste da Razão costuma ser o mais rápido quando há fatoriais.

Passo 6

Conclusão prática e incentivo: já que a série das magnitudes converge, a série original converge absolutamente. Isso significa que ela converge de forma “forte” — adianta até para reordenamentos de termos. Vai dar tudo certo na prova; quando vir n! no denominador, pensa em razão ou na expansão de e^x.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados