Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas: os termos gerais são para
. Não há mais dados ocultos.
Informações dadas: os termos gerais são
Passo 2
Primeiro preciso lembrar o que cada termo da pergunta significa (rapidinho, sem medo):
- Uma série é absolutamente convergente se a série das magnitudes dos termos converge, isto é, se
converge, onde é o termo geral original. - Se a série original converge mas a série das magnitudes diverge, chama-se convergência condicional.
- Se a série original não converge, é divergente.
Aqui o termo geral é
. A série das magnitudes é
que tem todos os termos positivos. Vou testar a convergência dessa série para decidir sobre a absoluta.
Passo 3
Vou usar o Teste da Razão (ratio test), que é ótimo quando aparece fatorial. O teste diz: para termos positivos
, calcule
Se
a série
converge; se
diverge; se
é inconclusivo.
Aqui tomo
. Vou calcular a razão
.
Passo 4
Calculemos explicitamente a razão:
Agora o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge. Portanto a série das magnitudes converge, e a série original é absolutamente convergente.
Passo 5
Comentário adicional (didático e prático): quando aparece
você pode também reconhecer a série da exponencial:
então
o que mostra de forma direta que a soma das magnitudes é finita. Ambas as abordagens (reconhecer
ou usar razão) são válidas; na prova, o Teste da Razão costuma ser o mais rápido quando há fatoriais.
Passo 6
Conclusão prática e incentivo: já que a série das magnitudes converge, a série original converge absolutamente. Isso significa que ela converge de forma “forte” — adianta até para reordenamentos de termos. Vai dar tudo certo na prova; quando vir
no denominador, pensa em razão ou na expansão de
.
Resposta
A série é absolutamente convergente.