Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n^{2}}{n!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. As informações relevantes são: o sinal alterna por causa de (-1)^{n-1} e o termo geral é \frac{n^{2}}{n!}. Quero primeiro verificar a convergência absoluta (ou não) e, se necessário, a convergência condicional.

Passo 2

Definição prática que vamos usar: a série original é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos convergir, isto é, se
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\frac{n^{2}}{n!}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n!}
convergir. Então concentro-me em estudar a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n!}.

Passo 3

Vou aplicar o teste da razão (ratio test), que é muito apropriado quando aparece fatorial. O teste da razão diz: para a_{n}>0, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
Se L<1 então \sum a_{n} converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui escolho a_{n}=\dfrac{n^{2}}{n!}, que é positivo para todo n.

Passo 4

Calculo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{2}}{n!}} =\dfrac{(n+1)^{2}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{n^{2}}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, simplifico:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\dfrac{(n+1)^{2}}{(n+1)\,n^{2}} =\dfrac{n+1}{n^{2}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\right)=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{n!} converge.

Passo 5

Concluir: a série dos valores absolutos converge, logo a série original é absolutamente convergente. Lembre-se: convergência absoluta implica convergência (e exclui o caso de convergência condicional). Intuição rápida: o fatorial (n!) cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^{2}, por isso os termos \dfrac{n^{2}}{n!} vão a zero muito rápido e a soma converge.

Resposta

absolutamente convergente

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