Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n^{2}}{n!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. As informações relevantes são: o sinal alterna por causa de (-1)^{n-1} e o termo geral é \frac{n^{2}}{n!}. Quero primeiro verificar a convergência absoluta (ou não) e, se necessário, a convergência condicional.
Passo 2
Definição prática que vamos usar: a série original é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos convergir, isto é, se
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{n!} converge.
Passo 5
Concluir: a série dos valores absolutos converge, logo a série original é absolutamente convergente. Lembre-se: convergência absoluta implica convergência (e exclui o caso de convergência condicional). Intuição rápida: o fatorial (n!) cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^{2}, por isso os termos \dfrac{n^{2}}{n!} vão a zero muito rápido e a soma converge.