Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função f dada por:
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1)
e pede:
  • encontrar os intervalos de crescimento (onde f'\!>\!0) e decrescimento (onde f'\!<\!0) usando o Teste da Primeira Derivada;
  • identificar os valores extremos locais (mínimos ou máximos locais), se existirem, e seus pontos.
Informações relevantes que temos já na mão:
  • a função está definida para todo x\in\mathbb{R};
  • \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}, que é igual a |x|^{2/3} (isso será útil para derivar).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. Como \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3} e x^{2}=\lvert x\rvert^{2}, temos
f(x)=|x|^{2/3}(x-1).
Explicação rápida (não assusta): escrever como |x|^{2/3} deixa explícito que a parte com potência é sempre não-negativa e que o comportamento em torno de x=0 pode ser especial (pois a derivada de |x|^{\alpha} pode dar problema em 0 quando \alpha<1). Vamos usar regra do produto para derivar f: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x)=|x|^{2/3} e v(x)=x-1. Então precisamos de u'(x) (para x\neq0) e de v'(x)=1.

Passo 3

Derivando u(x)=|x|^{2/3} para x\neq0. Vamos mostrar passo a passo:
  • Para x>0 temos |x|^{2/3}=x^{2/3} e, por potência,
\frac{d}{dx}x^{2/3}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
  • Para x<0 temos |x|^{2/3}=(-x)^{2/3}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(-x)^{2/3}=\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}\cdot(-1)=\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}\cdot(-1).
Agora note que (-x)^{-1/3}=-|x|^{-1/3} (porque a raiz cúbica de um número negativo é negativa), então o produto de dois negativos dá positivo e obtemos o mesmo valor que para x>0. Portanto, para x\neq0
\frac{d}{dx}|x|^{2/3}=\frac{2}{3}|x|^{-1/3}.
Resumo: u'(x)=\dfrac{2}{3}|x|^{-1/3} para x\neq0.

Passo 4

Aplicando a regra do produto para f(x)=u(x)v(x) com u'(x) calculado:
f'(x)=\frac{2}{3}|x|^{-1/3}(x-1)+|x|^{2/3}\cdot 1.
Para simplificar, fatoramos |x|^{-1/3} (válido para x\neq0):
f'(x)=|x|^{-1/3}\left(\frac{2}{3}(x-1)+|x|\right),\qquad x\neq0.
Agora é útil escrever as expressões de f' de forma peça‑por‑peça para analisar o sinal:
  • Se x>0 então |x|=x e
f'(x)=x^{-1/3}\left(\frac{2}{3}(x-1)+x\right) =x^{-1/3}\left(\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\right) =\frac{1}{3}x^{-1/3}(5x-2).
  • Se x<0 então |x|=-x e
f'(x)=|x|^{-1/3}\left(\frac{2}{3}(x-1)-x\right) =|x|^{-1/3}\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right) =-\frac{1}{3}|x|^{-1/3}(x+2).
Lembrete importante: o fator x^{-1/3} ou |x|^{-1/3} é sempre positivo quando x\neq0. Assim, o sinal de f'(x) será controlado apenas pelos parênteses (5x-2) para x>0 e por -(x+2) para x<0.

Passo 5

Agora identificamos os pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe).
  • f' não existe em x=0 porque aparece |x|^{-1/3} (tende a infinito). A função f entretanto está definida em 0: f(0)=|0|^{2/3}(0-1)=0.
  • Zeros de f' para x>0: resolver 5x-2=0 x=\dfrac{2}{5}.
  • Zeros de f' para x<0: resolver x+2=0 x=-2.
Portanto os pontos críticos são x=-2, x=0 (derivada indefinida) e x=\dfrac{2}{5}. Vamos calcular os valores da função nesses pontos (para reportar os extremos):
  • f(-2)=|{-2}|^{2/3}(-2-1)=2^{2/3}\cdot(-3)=-3\cdot 2^{2/3}.
  • f(0)=0.
  • f\!\left(\dfrac{2}{5}\right)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2/3}\!\left(\dfrac{2}{5}-1\right) =\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2/3}\!\left(-\dfrac{3}{5}\right) =-\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2/3}.

Passo 6

Aplicamos o Teste da Primeira Derivada (análise de sinal de f' em intervalos entre os pontos críticos). Os intervalos relevantes são
(-\infty,-2),\quad (-2,0),\quad (0,\tfrac{2}{5}),\quad (\tfrac{2}{5},\infty).
Usamos as fórmulas do Passo 4 para decidir o sinal em cada intervalo:
  • Para x< -2: então x+2<0. Em x<0 a expressão de f' era -\dfrac{1}{3}|x|^{-1/3}(x+2). Como |x|^{-1/3}>0 e (x+2)<0, o produto - (x+2) é positivo. Logo f'(x)>0 em (-\infty,-2). Conclusão: f cresce em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<0: agora x+2>0, então -\dfrac{1}{3}|x|^{-1/3}(x+2)<0. Logo f'(x)<0 em (-2,0). Conclusão: f decresce em (-2,0).
  • Para 0<x<\tfrac{2}{5}: usamos a expressão para x>0, f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-1/3}(5x-2). Aqui 5x-2<0 (porque x<\tfrac{2}{5}), então f'(x)<0. Conclusão: f decresce em (0,\tfrac{2}{5}).
  • Para x>\tfrac{2}{5}: 5x-2>0 e x^{-1/3}>0, então f'(x)>0. Conclusão: f cresce em (\tfrac{2}{5},\infty).
Observação sobre x=0: embora f' não exista em 0, o sinal de f' à esquerda de 0 é negativo (em (-2,0)) e à direita de 0 também é negativo (em (0,\tfrac{2}{5})). Como o sinal não muda ao atravessar 0, não há extremo local em x=0 (a função é decrescente de ambos os lados de 0).

Passo 7

Interpretando as trocas de sinal em x=-2 e x=\tfrac{2}{5} com o Teste da Primeira Derivada:
  • Em x=-2: f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso significa que f passa de crescer para decrescer, portanto f tem um máximo local em x=-2. O valor é f(-2)=-3\cdot 2^{2/3}.
  • Em x=\tfrac{2}{5}: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso significa que f tem um mínimo local em x=\tfrac{2}{5}. O valor é f\!\left(\tfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2/3}.
  • Em x=0: f' não existe, mas como o sinal de f' não muda (negativo dos dois lados), não há extremo local em x=0.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,-2) e \left(\dfrac{2}{5},\infty\right).
Intervalos de decrescimento: (-2,0) e \left(0,\dfrac{2}{5}\right).
Máximo local: em x=-2, com valor f(-2)=-3\cdot 2^{2/3}.
Mínimo local: em x=\dfrac{2}{5}, com valor f\!\left(\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2/3}.

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