Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- encontrar os intervalos de crescimento (onde
) e decrescimento (onde ) usando o Teste da Primeira Derivada; - identificar os valores extremos locais (mínimos ou máximos locais), se existirem, e seus pontos.
Informações relevantes que temos já na mão:
- a função está definida para todo
; -
, que é igual a (isso será útil para derivar).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação. Como
e
, temos
Explicação rápida (não assusta): escrever como
deixa explícito que a parte com potência é sempre não-negativa e que o comportamento em torno de
pode ser especial (pois a derivada de
pode dar problema em
quando
). Vamos usar regra do produto para derivar
: se
, então
Aqui
e
. Então precisamos de
(para
) e de
.
Passo 3
Derivando
para
. Vamos mostrar passo a passo:
- Para
temos e, por potência,
- Para
temos . Aplicando a regra da cadeia:
Agora note que
(porque a raiz cúbica de um número negativo é negativa), então o produto de dois negativos dá positivo e obtemos o mesmo valor que para
. Portanto, para
Resumo:
para
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto para
com
calculado:
Para simplificar, fatoramos
(válido para
):
Agora é útil escrever as expressões de
de forma peça‑por‑peça para analisar o sinal:
- Se
então e
- Se
então e
Lembrete importante: o fator
ou
é sempre positivo quando
. Assim, o sinal de
será controlado apenas pelos parênteses
para
e por
para
.
Passo 5
Agora identificamos os pontos críticos (onde
ou
não existe).
-
não existe em porque aparece (tende a infinito). A função entretanto está definida em : . - Zeros de
para : resolver dá . - Zeros de
para : resolver dá .
Portanto os pontos críticos são
,
(derivada indefinida) e
. Vamos calcular os valores da função nesses pontos (para reportar os extremos):
-
-
. -
Passo 6
Aplicamos o Teste da Primeira Derivada (análise de sinal de
em intervalos entre os pontos críticos). Os intervalos relevantes são
Usamos as fórmulas do Passo 4 para decidir o sinal em cada intervalo:
-
Para
: então . Em a expressão de era . Como e , o produto é positivo. Logo em . Conclusão: cresce em . -
Para
: agora , então . Logo em . Conclusão: decresce em . -
Para
: usamos a expressão para , . Aqui (porque ), então . Conclusão: decresce em . -
Para
: e , então . Conclusão: cresce em .
Observação sobre
: embora
não exista em
, o sinal de
à esquerda de
é negativo (em
) e à direita de
também é negativo (em
). Como o sinal não muda ao atravessar
, não há extremo local em
(a função é decrescente de ambos os lados de
).
Passo 7
Interpretando as trocas de sinal em
e
com o Teste da Primeira Derivada:
-
Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso significa que passa de crescer para decrescer, portanto tem um máximo local em . O valor é . -
Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso significa que tem um mínimo local em . O valor é . -
Em
: não existe, mas como o sinal de não muda (negativo dos dois lados), não há extremo local em .
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
.
Intervalos de decrescimento:
e
.
Máximo local: em
, com valor
.
Mínimo local: em
, com valor
.