Use o teste da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem. Caso este teste não forneça nenhuma conclusão, tente outro teste.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{e^{n}}
usando o teste da razão (ou da raiz). O conteúdo aqui é análise de séries de termos positivos, e vamos aplicar o teste da razão, que compara a razão dos termos consecutivos.

Passo 2

Seja a_{n}=\frac{n!}{e^{n}}. O teste da razão exige calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
Temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\frac{(n+1)!}{e^{\,n+1}}}{\frac{n!}{e^{n}}} =\frac{(n+1)!\,e^{n}}{n!\,e^{\,n+1}} =\frac{n+1}{e}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{e} = +\infty.
Como L>1, o teste da razão diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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