Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=0
y(0)=1 y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a EDO homogênea
y''(t) - 4,y'(t) + 5,y(t) = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=3.
Para isso vamos usar as propriedades
Ly'(t) = s,Y(s) - y(0) e
Ly''(t) = s^2,Y(s) - s,y(0) - y'(0),
onde Y(s)= Ly(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da EDO obtemos
Ly'' - 4, Ly' + 5, Ly = 0
Substituindo as fórmulas:
l(s^2,Y(s) - scdot1 - 3r);-;4l(s,Y(s) - 1r);+;5,Y(s) = 0

Passo 3

Reorganizando os termos em Y(s) e os termos independentes:
s^2,Y(s) -4s,Y(s) +5,Y(s);-;s -3 +4 = 0
Y(s)l(s^2 -4s +5r);-;(s -1)=0
Logo
Y(s) = s - 1s^2 -4s +5

Passo 4

Note que s^2 -4s +5 = (s-2)^2 +1 e s-1 = (s-2)+1. Logo
Y(s) = (s-2)+1(s-2)^2 + 1 = s-2(s-2)^2+1 ;+; 1(s-2)^2+1

Passo 5

Reconhecendo as transformadas padrão:
L^-1!ls-2(s-2)^2+1r = e^2tcos t
e
L^-1!l1(s-2)^2+1r = e^2tsin t.
Assim, por linearidade,
y(t) = e^2tcos t + e^2tsin t

Resposta

y(t) = e^2tl(cos t + sin tr)

Exercícios relacionados