Verifique que o vetor \mathbf{X}{p} é uma solução particular do sistema dado.
22. \mathbf{X}^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}2 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-5}{2} ;\quad \mathbf{X}
{p}=\binom{1}{3}

Passo 1

Dados fornecidos:
\mathbf{X}'=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X}+\binom{-5}{2}, \qquad \mathbf{X}_{p}=\binom{1}{3}.
O que se pede: verificar se \mathbf{X}_{p} é uma solução particular do sistema (ou seja, se ao substituir \mathbf{X}=\mathbf{X}_{p} a igualdade diferencial é satisfeita).]

Passo 2

Estratégia de verificação (explicação didática): para checar se um vetor \mathbf{X}_{p}(t) é solução de uma equação vetorial de primeira ordem, substituímos \mathbf{X}=\mathbf{X}_{p} na equação e verificamos se a igualdade vale. Aqui \mathbf{X}_{p} é um vetor constante (não depende de t), então sua derivada é o vetor nulo. Lembre-se que a derivada de um vetor constante é o vetor de derivadas componentes, todas nulas:
\mathbf{X}_{p}'=\binom{0}{0}=\mathbf{0}.

Passo 3

Explicando multiplicação matriz–vetor (passo a passo): vamos calcular \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X}_{p}. A multiplicação se faz por linhas da matriz por colunas do vetor; cada componente do resultado é soma de produtos correspondentes. Assim,
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\binom{1}{3} = \binom{2\cdot 1 + 1\cdot 3}{1\cdot 1 + (-1)\cdot 3}.
Calculemos cada entrada explicitamente:
2\cdot 1 + 1\cdot 3 = 2 + 3 = 5,
1\cdot 1 + (-1)\cdot 3 = 1 - 3 = -2.
Portanto
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X}_{p}=\binom{5}{-2}.]

Passo 4

Agora somamos o termo não homogêneo \binom{-5}{2}:
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X}_{p}+\binom{-5}{2} = \binom{5}{-2}+\binom{-5}{2}.
Somando componente a componente:
5 + (-5) = 0,\qquad -2 + 2 = 0,
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\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\mathbf{X}_{p}+\binom{-5}{2}=\binom{0}{0}=\mathbf{0}.]

Passo 5

Conclusão: como \mathbf{X}_{p}'=\mathbf{0} (derivada do vetor constante) e ao substituir \mathbf{X}_{p} no lado direito obtemos também \mathbf{0}, a igualdade da equação diferencial é satisfeita. Portanto \mathbf{X}_{p} é de fato uma solução particular do sistema. Força aí — você já viu o cálculo todo que precisa fazer na prova!

Resposta

Sim. \mathbf{X}_{p}=\binom{1}{3} é solução particular porque \mathbf{0}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\binom{1}{3}+\binom{-5}{2}.]

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