Verifique que o vetor \mathbf{X}{p} é uma solução particular do sistema dado.
22. \mathbf{X}^{\prime}=\left(
\right) \mathbf{X}+\binom{-5}{2} ;\quad \mathbf{X}{p}=\binom{1}{3}
22. \mathbf{X}^{\prime}=\left(
Passo 1
Dados fornecidos:
O que se pede: verificar se
é uma solução particular do sistema (ou seja, se ao substituir
a igualdade diferencial é satisfeita).]
Passo 2
Estratégia de verificação (explicação didática): para checar se um vetor
é solução de uma equação vetorial de primeira ordem, substituímos
na equação e verificamos se a igualdade vale. Aqui
é um vetor constante (não depende de
), então sua derivada é o vetor nulo. Lembre-se que a derivada de um vetor constante é o vetor de derivadas componentes, todas nulas:
Passo 3
Explicando multiplicação matriz–vetor (passo a passo): vamos calcular
. A multiplicação se faz por linhas da matriz por colunas do vetor; cada componente do resultado é soma de produtos correspondentes. Assim,
Calculemos cada entrada explicitamente:
Portanto
Passo 4
Agora somamos o termo não homogêneo
:
Somando componente a componente:
logo
Passo 5
Conclusão: como
(derivada do vetor constante) e ao substituir
no lado direito obtemos também
, a igualdade da equação diferencial é satisfeita. Portanto
é de fato uma solução particular do sistema. Força aí — você já viu o cálculo todo que precisa fazer na prova!
Resposta
Sim.
é solução particular porque
.]