Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 \div 99,25 \div 99,43 \div 99,76 \div 99. Explique o padrão observado nos resultados.

Passo 1

O enunciado pede que eu use a calculadora para fazer as contas abaixo e depois explique o padrão observado. As operações a calcular (interpretei como quatro divisões separadas de 1 pelos números indicados) são:
1 \div 99{,}25,\qquad 1 \div 99{,}43,\qquad 1 \div 99{,}76,\qquad 1 \div 99.
Informações relevantes dadas: os denominadores são números muito próximos de 100. Não há outra ambiguidade no enunciado.

Passo 2

Calculei \displaystyle 1\div 99{,}25.
Primeiro transformo o número em fração exata para facilitar verificação:
99{,}25=\frac{9925}{100}=\frac{397}{4},
portanto
\frac{1}{99{,}25}=\frac{4}{397}.
Usando calculadora (ou divisão longa) obtemos a aproximação decimal
\frac{4}{397}\approx 0{,}010075567.
(Arredondei aqui a 9 casas decimais para ficar legível.)

Passo 3

Calculei \displaystyle 1\div 99{,}43.
Escrevo 99{,}43=\dfrac{9943}{100}, então
\frac{1}{99{,}43}=\frac{100}{9943}.
Usando calculadora obtemos
\frac{100}{9943}\approx 0{,}010057327.

Passo 4

Calculei \displaystyle 1\div 99{,}76.
Escrevo 99{,}76=\dfrac{9976}{100}, então
\frac{1}{99{,}76}=\frac{100}{9976}.
Usando calculadora obtemos
\frac{100}{9976}\approx 0{,}010024096.

Passo 5

Calculei \displaystyle 1\div 99.
Aqui é fácil reconhecer a dízima periódica:
\frac{1}{99}=0{,}\overline{01}=0{,}0101010101\ldots

Passo 6

Agora explico e mostro o padrão observado (passo a passo e didaticamente).
  1. Observação rápida: todos os quatro resultados começam com 0{,}01\ldots. Isso é porque todos os denominadores estão muito perto de 100, e
\frac{1}{100}=0{,}01.
Se o denominador for um pouco menor que 100, o quociente será um pouco maior que 0{,}01; se o denominador for um pouco maior que 100, o quociente seria um pouco menor que 0{,}01.
  1. Fórmula que explica o detalhe (muito útil na prova): seja um número escrito como 100-x, com |x|<100. Então
\frac{1}{100-x}=\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{100}}=0{,}01\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{100}}.
Para \left|\tfrac{x}{100}\right|<1 podemos usar a série geométrica
\frac{1}{1-y}=1+y+y^2+y^3+\cdots\quad(\text{com }y=\tfrac{x}{100}),
logo
\frac{1}{100-x}=0{,}01\bigl(1+\tfrac{x}{100}+\tfrac{x^2}{100^2}+\cdots\bigr).
  1. Interpretação prática (primeira aproximação): mantendo só os dois primeiros termos da série (que já dão boa aproximação quando x é pequeno),
\frac{1}{100-x}\approx 0{,}01+\frac{x}{10000}.
Isto diz: a diferença entre \dfrac{1}{100-x} e 0{,}01 é, em primeira ordem, aproximadamente \dfrac{x}{10000}.
  1. Aplicando ao nosso caso:
  • Para 99{,}25 temos x=0{,}75, então \dfrac{x}{10000}=0{,}000075 e \dfrac{1}{99{,}25}\approx 0{,}010075 (coincide com 0{,}010075567 calculado).
  • Para 99{,}43 temos x=0{,}57, então \dfrac{x}{10000}=0{,}000057 e \dfrac{1}{99{,}43}\approx 0{,}010057 (coincide com 0{,}010057327).
  • Para 99{,}76 temos x=0{,}24, então \dfrac{x}{10000}=0{,}000024 e \dfrac{1}{99{,}76}\approx 0{,}010024 (coincide com 0{,}010024096).
  • Para 99 temos x=1, então \dfrac{1}{99}\approx 0{,}01+\dfrac{1}{10000}=0{,}0101 que já dá a ideia e a forma exata é a dízima 0{,}\overline{01}.
Resumo da intuição: como os denominadores estão perto de 100, os reciprocais ficam perto de 0{,}01. A pequena diferença em cada caso é aproximadamente \dfrac{100-\text{denominador}}{10000}, e essa aproximação é suficiente para prever os dígitos que seguem o 0{,}01.

Resposta

\displaystyle 1\div 99{,}25\approx 0{,}010075567
\displaystyle 1\div 99{,}43\approx 0{,}010057327
\displaystyle 1\div 99{,}76\approx 0{,}010024096
\displaystyle 1\div 99=0{,}\overline{01}=0{,}0101010101\ldots
Padrão: todos os resultados são próximos de 0{,}01; para denominador 100-x a primeira ordem dá \dfrac{1}{100-x}\approx 0{,}01+\dfrac{x}{10000}, o que explica os dígitos que aparecem após 0{,}01.

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