Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 \div 99,25 \div 99,43 \div 99,76 \div 99. Explique o padrão observado nos resultados.
Passo 1
O enunciado pede que eu use a calculadora para fazer as contas abaixo e depois explique o padrão observado. As operações a calcular (interpretei como quatro divisões separadas de 1 pelos números indicados) são:
Agora explico e mostro o padrão observado (passo a passo e didaticamente).
Observação rápida: todos os quatro resultados começam com 0{,}01\ldots. Isso é porque todos os denominadores estão muito perto de 100, e
\frac{1}{100}=0{,}01.
Se o denominador for um pouco menor que 100, o quociente será um pouco maior que 0{,}01; se o denominador for um pouco maior que 100, o quociente seria um pouco menor que 0{,}01.
Fórmula que explica o detalhe (muito útil na prova): seja um número escrito como 100-x, com |x|<100. Então
Interpretação prática (primeira aproximação): mantendo só os dois primeiros termos da série (que já dão boa aproximação quando x é pequeno),
\frac{1}{100-x}\approx 0{,}01+\frac{x}{10000}.
Isto diz: a diferença entre \dfrac{1}{100-x} e 0{,}01 é, em primeira ordem, aproximadamente \dfrac{x}{10000}.
Aplicando ao nosso caso:
Para 99{,}25 temos x=0{,}75, então \dfrac{x}{10000}=0{,}000075 e \dfrac{1}{99{,}25}\approx 0{,}010075 (coincide com 0{,}010075567 calculado).
Para 99{,}43 temos x=0{,}57, então \dfrac{x}{10000}=0{,}000057 e \dfrac{1}{99{,}43}\approx 0{,}010057 (coincide com 0{,}010057327).
Para 99{,}76 temos x=0{,}24, então \dfrac{x}{10000}=0{,}000024 e \dfrac{1}{99{,}76}\approx 0{,}010024 (coincide com 0{,}010024096).
Para 99 temos x=1, então \dfrac{1}{99}\approx 0{,}01+\dfrac{1}{10000}=0{,}0101 que já dá a ideia e a forma exata é a dízima 0{,}\overline{01}.
Resumo da intuição: como os denominadores estão perto de 100, os reciprocais ficam perto de 0{,}01. A pequena diferença em cada caso é aproximadamente \dfrac{100-\text{denominador}}{10000}, e essa aproximação é suficiente para prever os dígitos que seguem o 0{,}01.
Padrão: todos os resultados são próximos de 0{,}01; para denominador 100-x a primeira ordem dá \dfrac{1}{100-x}\approx 0{,}01+\dfrac{x}{10000}, o que explica os dígitos que aparecem após 0{,}01.