Sem usar uma calculadora, determine
\log _{2}(1 / 8)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{8}\right) sem usar calculadora. Informação dada: o argumento do logaritmo é \tfrac{1}{8} e a base é 2.

Passo 2

Definição útil (aula curta): a expressão \log_{b}(a) é o número x tal que b^{x}=a. Ou seja,
\log_{b}(a)=x \quad\Longleftrightarrow\quad b^{x}=a,
onde b>0 e b\neq1. Isso significa que, para calcular um logaritmo, podemos tentar escrever o argumento a como uma potência da base b.

Passo 3

Propriedade direta que usaremos: se pudermos escrever a=b^{k} para algum k, então
\log_{b}(a)=\log_{b}\big(b^{k}\big)=k.
Essa propriedade vem diretamente da definição: b^{k}=a implica que o expoente que leva b a a é k.

Passo 4

Transformar \tfrac{1}{8} em potência de 2. Primeiro, 8 é uma potência de 2, pois
8=2^{3}.
O recíproco de 8 é \tfrac{1}{8}, então
\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}=2^{-3},
usando a regra de potências que diz \big(b^{n}\big)^{-1}=b^{-n}.

Passo 5

Aplicar a propriedade do logaritmo ao número escrito como potência de 2:
\log_{2}\!\left(\frac{1}{8}\right)=\log_{2}\!\left(2^{-3}\right)=-3.
Verificação rápida: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}, então o expoente é realmente -3.

Resposta

-3

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