Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.
g(y)=y^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede um esboço grosseiro do gráfico da função g definida por
g(y)=y^{2}-4.
Informações dadas, explícitas no enunciado:
  • A variável independente é y.
  • A função g(y) é dada pela expressão y^{2}-4.
    O que se espera no esboço: identificar pontos importantes (vértice, zeros, interseções com eixos), a forma geral da curva (abertura, concavidade), e um procedimento simples para desenhar um rascunho à mão sem calculadora.

Passo 2

Analisar a forma da função (tipo da curva). A expressão g(y)=y^{2}-4 é um polinômio quadrático em y. Quadráticas têm forma geral
g(y)=ay^{2}+by+c,
onde a,b,c são constantes. Aqui a=1, b=0, c=-4. Quando a>0 a parábola abre para cima; quando a<0 abre para baixo. Portanto, já sabemos que a curva é uma parábola que abre para cima (concavidade para cima) porque a=1>0.

Passo 3

Encontrar o vértice da parábola (ponto de mínimo aqui). Método: completar o quadrado ou usar fórmula do vértice. Para completar o quadrado:
g(y)=y^{2}-4=(y-0)^{2}-4.
Isso mostra que a forma canônica é (y-0)^{2}-4. O vértice tem coordenadas (y_{\text{v}},g_{\text{v}})=(0,-4). Explicando: a expressão (y-0)^{2} é sempre \ge 0, então o menor valor de g(y) é -4, atingido quando y=0. Isso dá o mínimo da parábola.

Passo 4

Determinar os zeros (raízes) da função — pontos onde a curva cruza o eixo horizontal (o eixo das y, que é o eixo independente aqui). Resolver g(y)=0:
y^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Portanto os zeros são y=2 e y=-2. No esboço, esses pontos ficam na linha horizontal g=0 (o eixo vertical do gráfico é g, o horizontal é y); mas como é habitual desenhar o eixo horizontal como variável independente, marque os pontos (2,0) e (-2,0) no plano (y,g(y)).

Passo 5

Interseções com os eixos e domínio/imagem:
  • Interseção com o eixo vertical (quando y=0): g(0)=-4. Já vimos: é o vértice (0,-4).
  • Interseção com o eixo horizontal (quando g(y)=0): pontos (2,0) e (-2,0).
  • Domínio: todos os reais, \;(-\infty,\infty), pois polinômios são definidos para qualquer y.
  • Imagem (conjunto de valores de g): como a parábola abre para cima e o mínimo é -4, a imagem é [ -4,\infty).

Passo 6

Comportamento e inclinações (ajuda a desenhar a forma): derivative rápido para saber como a inclinação varia. A derivada é
g'(y)=2y.
Isso significa:
  • Para y<0, g'(y)<0: a curva desce quando nos aproximamos do vértice pela esquerda.
  • Em y=0, g'(0)=0: tangente horizontal no vértice.
  • Para y>0, g'(y)>0: a curva sobe quando seguimos à direita do vértice.
    Isso confirma a forma “U” simétrica em torno da reta y=0.

Passo 7

Escolher alguns pontos adicionais para orientar o esboço (todos sem calculadora, contas simples):
  • y=0\Rightarrow g(0)=-4 (vértice).
  • y=1\Rightarrow g(1)=1-4=-3. Ponto (1,-3).
  • y=-1\Rightarrow g(-1)=1-4=-3. Ponto (-1,-3). (simetria)
  • y=2\Rightarrow g(2)=4-4=0. Ponto (2,0) (zero).
  • y=-2\Rightarrow g(-2)=4-4=0. Ponto (-2,0).
  • y=3\Rightarrow g(3)=9-4=5. Ponto (3,5).
  • y=-3\Rightarrow g(-3)=9-4=5. Ponto (-3,5).
    Esses pontos formam uma boa malha para desenhar à mão.

Passo 8

Procedimento prático para desenhar o esboço à mão (grosseiro, sem régua): 1) desenhe eixos perpendiculares, rotule o eixo horizontal como y e o vertical como g; 2) marque o vértice em (0,-4); 3) marque os zeros em (-2,0) e (2,0); 4) marque os pontos (\pm1,-3) e (\pm3,5) para ter ideia da curvatura; 5) desenhe uma curva suave em forma de U que passe por esses pontos, simétrica em torno da reta vertical y=0, com tangente horizontal no vértice. Não precisa ser perfeita: o importante é capturar a posição relativa e a simetria.

Resposta

Parábola com vértice em (0,-4), abre para cima (concavidade para cima).
Zeros em y=\pm 2 (pontos (-2,0) e (2,0)).
Eixo de simetria: y=0.
Domínio: (-\infty,\infty).
Imagem: [ -4,\infty ).

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