Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede um esboço grosseiro do gráfico da função
definida por
Informações dadas, explícitas no enunciado:
- A variável independente é
. - A função
é dada pela expressão .
O que se espera no esboço: identificar pontos importantes (vértice, zeros, interseções com eixos), a forma geral da curva (abertura, concavidade), e um procedimento simples para desenhar um rascunho à mão sem calculadora.
Passo 2
Analisar a forma da função (tipo da curva). A expressão
é um polinômio quadrático em
. Quadráticas têm forma geral
onde
são constantes. Aqui
,
,
. Quando
a parábola abre para cima; quando
abre para baixo. Portanto, já sabemos que a curva é uma parábola que abre para cima (concavidade para cima) porque
.
Passo 3
Encontrar o vértice da parábola (ponto de mínimo aqui). Método: completar o quadrado ou usar fórmula do vértice. Para completar o quadrado:
Isso mostra que a forma canônica é
. O vértice tem coordenadas
. Explicando: a expressão
é sempre
, então o menor valor de
é
, atingido quando
. Isso dá o mínimo da parábola.
Passo 4
Determinar os zeros (raízes) da função — pontos onde a curva cruza o eixo horizontal (o eixo das
, que é o eixo independente aqui). Resolver
:
Portanto os zeros são
e
. No esboço, esses pontos ficam na linha horizontal
(o eixo vertical do gráfico é
, o horizontal é
); mas como é habitual desenhar o eixo horizontal como variável independente, marque os pontos
e
no plano
.
Passo 5
Interseções com os eixos e domínio/imagem:
- Interseção com o eixo vertical (quando
): . Já vimos: é o vértice . - Interseção com o eixo horizontal (quando
): pontos e . - Domínio: todos os reais,
, pois polinômios são definidos para qualquer . - Imagem (conjunto de valores de
): como a parábola abre para cima e o mínimo é , a imagem é .
Passo 6
Comportamento e inclinações (ajuda a desenhar a forma): derivative rápido para saber como a inclinação varia. A derivada é
Isso significa:
- Para
, : a curva desce quando nos aproximamos do vértice pela esquerda. - Em
, : tangente horizontal no vértice. - Para
, : a curva sobe quando seguimos à direita do vértice.
Isso confirma a forma “U” simétrica em torno da reta.
Passo 7
Escolher alguns pontos adicionais para orientar o esboço (todos sem calculadora, contas simples):
-
(vértice). -
. Ponto . -
. Ponto . (simetria) -
. Ponto (zero). -
. Ponto . -
. Ponto . -
. Ponto .
Esses pontos formam uma boa malha para desenhar à mão.
Passo 8
Procedimento prático para desenhar o esboço à mão (grosseiro, sem régua): 1) desenhe eixos perpendiculares, rotule o eixo horizontal como
e o vertical como
; 2) marque o vértice em
; 3) marque os zeros em
e
; 4) marque os pontos
e
para ter ideia da curvatura; 5) desenhe uma curva suave em forma de U que passe por esses pontos, simétrica em torno da reta vertical
, com tangente horizontal no vértice. Não precisa ser perfeita: o importante é capturar a posição relativa e a simetria.
Resposta
Parábola com vértice em
, abre para cima (concavidade para cima).
Zeros em (pontos
e
).
Eixo de simetria: .
Domínio: .
Imagem: .
Zeros em
Eixo de simetria:
Domínio:
Imagem: