Usar a propriedade de resolução de equações diferenciais da transformada de Laplace para resolver: considerando condições iniciais dadas por e e um sinal de entrada degrau unitário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Onde é a função que queremos encontrar, e é o sinal de entrada, que neste caso é um degrau unitário (também conhecido como função escalão). As condições iniciais são e .
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos lembrar que a Transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Onde é a Transformada de Laplace de .
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo as condições iniciais e :
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :
Passo 5
Isolando :
Simplificando o numerador:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador:
Então:
Passo 7
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Assumimos:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 8
Expandindo e agrupando os termos:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
8B = 1 Rightarrow B = 18
Substituindo 8A + 18 = 18 Rightarrow 8A = 18 - 18 = 1448 - 18 = 1438 Rightarrow A = 14364 na segunda equação:
A + C = 2 Rightarrow C = 2 - A = 2 - 14364 = 12864 - 14364 = -1564
Agora, da primeira equação:
Passo 10
Agora, substituindo os valores de Y(s) = 14364s + 18s^2 + -1564s + 8 , Y(s) = 14364 cdot 1s + 18 cdot 1s^2 - 1564 cdot 1s + 8 e na decomposição:
Simplificando:
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-1 1s = 1 L^-1 1s^2 = t L^-1 1s + a = e^-a t :