Usar a propriedade de resolução de equações diferenciais da transformada de Laplace para resolver:
d^2 y(t)d t^2+8 d y(t)d t=x(t) considerando condições iniciais dadas por y(0)=2 e y^prime(0)=2 e um sinal de entrada x(t) degrau unitário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 y(t)dt^2 + 8 d y(t)dt = x(t)
Onde é a função que queremos encontrar, e é o sinal de entrada, que neste caso é um degrau unitário (também conhecido como função escalão). As condições iniciais são e .
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos lembrar que a Transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ld^2 y(t)dt^2 = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ld y(t)dt = s Y(s) - y(0)
Lx(t) = 1s
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 8 ( s Y(s) - y(0) ) = 1s
Substituindo as condições iniciais s^2 Y(s) - s cdot 2 - 2 + 8 ( s Y(s) - 2 ) = 1s e :

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
s^2 Y(s) - 2s - 2 + 8s Y(s) - 16 = 1s
Agrupando os termos com ( s^2 + 8s ) Y(s) - 2s - 18 = 1s :

Passo 5

Isolando ( s^2 + 8s ) Y(s) = 1s + 2s + 18 :
Y(s) = 1s + 2s + 18s^2 + 8s
Y(s) = 1 + 2s^2 + 18ss (s^2 + 8s)
Simplificando o numerador:

Passo 6

Vamos fatorar o denominador:
s^2 + 8s = s(s + 8)
Então:
Y(s) = 2s^2 + 18s + 1s^2(s + 8)

Passo 7

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Assumimos:
2s^2 + 18s + 1s^2(s + 8) = As + Bs^2 + Cs + 8
Multiplicando ambos os lados por 2s^2 + 18s + 1 = A s (s + 8) + B (s + 8) + C s^2 :

Passo 8

Expandindo e agrupando os termos:
2s^2 + 18s + 1 = A s^2 + 8A s + B s + 8B + C s^2
2s^2 + 18s + 1 = (A + C) s^2 + (8A + B) s + 8B
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
A + C = 2 8A + B = 18 8B = 1

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
8B = 1 Rightarrow B = 18
Substituindo 8A + 18 = 18 Rightarrow 8A = 18 - 18 = 1448 - 18 = 1438 Rightarrow A = 14364 na segunda equação:
A + C = 2 Rightarrow C = 2 - A = 2 - 14364 = 12864 - 14364 = -1564
Agora, da primeira equação:

Passo 10

Agora, substituindo os valores de Y(s) = 14364s + 18s^2 + -1564s + 8 , Y(s) = 14364 cdot 1s + 18 cdot 1s^2 - 1564 cdot 1s + 8 e na decomposição:
Simplificando:

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-1 1s = 1 L^-1 1s^2 = t L^-1 1s + a = e^-a t :
y(t) = 14364 cdot 1 + 18 cdot t - 1564 e^-8 t
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 14364 + 18 t - 1564 e^-8 t

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