Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC(y^2 d x+x^2 d z), onde C é o contorno da parte do plano 2 x+y+z=4 que está no 1^circ octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
ointCl(y^2,dx + x^2,dzr)
em que C é o contorno da parte do plano
2x + y + z = 4
no primeiro octante, orientado “anti-horário”.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes, que diz
ointCFcdot dr =integral duplaSl(nablatimesFr)cdotn,dS,
onde S é uma superfície cujo bordo é C e n é o seu versor normal.

Passo 2

Definimos o campo
F(x,y,z)=l(P,Q,Rr) = l(y^2,0,x^2r)
Calculamos o rotor:
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz y^2&0&x^2 =l(0,;-tfracpartialpartial x(x^2),;-tfracpartialpartial y(y^2)r) =(0,-2x,-2y)

Passo 3

Escolhemos S como o triângulo do plano dado em que x>=0,y>=0,z>=0. Escrevemos
z = 4 - 2x - y,
e projetamos em xy-plano. A região de projeção é
D=l(x,y)mid x>=0,;y>=0,;4-2x-y>=0r =l0<= x<=2,;0<= y<=4-2xr
Para superfícies do tipo z=f(x,y), um elemento de área vetorial orientado “para cima” (z-positiva) é
dS =l(-fx,,-fy,,1r),dx,dy =l(2,1,1r),dx,dy,
pois fx=-2 e fy=-1.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointCFcdot dr =integral duplaD(nablatimesF)cdot dS =integral duplaD(0,-2x,-2y)cdot(2,1,1),dx,dy
Calculamos o produto escalar:
(0,-2x,-2y)cdot(2,1,1) =-2x-2y
Então temos
integral duplaD(-2x-2y),dx,dy,
com D dado acima.

Passo 5

Executamos a integração dupla:
integralx=0^2integraly=0^4-2x(-2x-2y),dy,dx
Primeiro em y:
integral0^4-2x(-2x-2y),dy =-2x,(4-2x);-;2integral0^4-2xy,dy =-2x(4-2x);-;(4-2x)^2
Expandindo:
-2x(4-2x)-(4-2x)^2 =(-8x+4x^2)-(16-16x+4x^2) =-16+8x
Agora em x:
integral0^2(-16+8x),dx =l[-16x+4x^2r]0^2 =(-32+16)-0 =-16

Resposta

-16

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