Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é o contorno da parte do plano
que está no
octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
em que
é o contorno da parte do plano
no primeiro octante, orientado “anti-horário”.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes, que diz
O conteúdo envolvido é o Teorema de Stokes, que diz
onde
é uma superfície cujo bordo é
e
é o seu versor normal.
Passo 2
Definimos o campo
Calculamos o rotor:
Passo 3
Escolhemos
S como o triângulo do plano dado em que
x>=0,y>=0,z>=0 . Escrevemos
e projetamos em
xy -plano. A região de projeção é
Para superfícies do tipo
z=f(x,y) , um elemento de área vetorial orientado “para cima” (z-positiva) é
pois
fx=-2 e
fy=-1 .
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
Calculamos o produto escalar:
Então temos
com
D dado acima.
Passo 5
Executamos a integração dupla:
Primeiro em
y :
Expandindo:
Agora em
x :