Use o método de Newton-Raphson para aproximar as soluções das seguintes equações no intervalo de precisão de 10^-5:
x=2-e^x+x^23

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson e aproximar a solução da equação
x = 2 - e^x + x^23
com precisão de 10^-5.
Conteúdo: métodos iterativos (Newton–Raphson).
O que precisamos: definir
f(x)=x^2-3x+2-e^x,
calcular sua derivada f'(x) e aplicar a iteração
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
até que |xn+1-xn|<10^-5.

Passo 2

Definimos as funções
f(x)=x^2-3x+2-e^x,
f'(x)=2x-3-e^x,
e a fórmula de Newton–Raphson
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 3

Para localizar a raiz, notamos que
f(0)=0^2-3cdot0+2-e^0=2-1=1>0,
f(1)=1-3+2-eapprox0-2,718=-2,718<0,
logo há uma raiz em (0,1). Escolhemos x0=0,3.

Passo 4

Iteração 1:
f(0,3)=0,09-0,9+2-1,3499=-0,1599,
f'(0,3)=0,6-3-1,3499=-3,7499,
x1=0,3--0,1599-3,7499=0,25736

Passo 5

Iteração 2:
f(0,25736)approx0,00045,
f'(0,25736)approx-3,7790,
x2=0,25736-0,00045-3,7790=0,25748

Passo 6

Iteração 3:
f(0,25748)approx0,000059,
f'(0,25748)approx-3,7788,
x3=0,25748-0,000059-3,7788=0,2574956
A diferença |x3-x2|approx1,56times10^-5 ainda é ligeiramente maior que 10^-5, então continuamos.

Passo 7

Iteração 4:
f(0,2574956)approx2,3times10^-7,
f'(0,2574956)approx-3,7788,
x4=0,2574956-2,3times10^-7-3,7788=0,2574957
Agora |x4-x3|approx6times10^-8<10^-5, critério satisfeito.

Resposta

A solução aproximada é
xapprox0,257496

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