Use o algoritmo da inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se ela existir.
E=[rrrr2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a inversa da matriz E usando o algoritmo de inversão. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações de linha na matriz aumentada [E | I], onde I é a matriz identidade. O objetivo é transformar E na identidade e, ao mesmo tempo, transformar I na inversa de E .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada [E | I]. A matriz E é dada por:
E = 2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5
E a matriz identidade I de ordem 4 é:
I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Então, a matriz aumentada [E | I] fica:
[cccc|cccc 2 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O próximo passo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada, que é E , na matriz identidade usando operações de linha. Cada operação que fazemos na parte esquerda, também fazemos na parte direita, o que eventualmente nos dará a inversa de E na parte direita.
Vamos começar com a primeira linha. Queremos que o primeiro elemento seja 1.
Linha 1 (L1): [2 -4 0 0 | 1 0 0 0]
Dividimos toda a Linha 1 por 2 para que o primeiro elemento seja 1:
L1 div 2 L1
Nova Linha 1:
[1 -2 0 0 | 0.5 0 0 0]

Passo 4

Agora, queremos eliminar o primeiro elemento das demais linhas para ter zeros abaixo do 1 na primeira coluna.
Linha 2 (L2): [1 2 12 0 | 0 1 0 0]
Fazemos: L2 - L1 L2
[1 - 1 2 - (-2) 12 - 0 0 - 0 | 0 - 0.5 1 - 0 0 - 0 0 - 0]
[0 4 12 0 | -0.5 1 0 0]
Linha 4 (L4): [0 -1 -4 -5 | 0 0 0 1]
Esta linha já tem 0 no primeiro elemento, então não precisamos alterar.

Passo 5

Vamos agora trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o pivô (o elemento principal) seja 1. Observamos que na Linha 2 temos 4 na segunda coluna.
Dividimos a Linha 2 por 4:
L2 div 4 L2
Nova Linha 2:
[0 1 3 0 | -0.125 0.25 0 0]

Passo 6

Agora, vamos eliminar o valor na segunda coluna das outras linhas.
Linha 1 (L1): [1 -2 0 0 | 0.5 0 0 0]
Fazemos: L1 + 2 times L2 L1
[1 + 0 -2 + 2(1) 0 + 2(3) 0 + 2(0) | 0.5 + 2(-0.125) 0 + 2(0.25) 0 + 2(0) 0 + 2(0)]
[1 0 6 0 | 0.25 0.5 0 0]
Linha 4 (L4): [0 -1 -4 -5 | 0 0 0 1]
Fazemos: L4 + L2 L4
[0 + 0 -1 + 1 -4 + 3 -5 + 0 | 0 + (-0.125) 0 + 0.25 0 + 0 1 + 0]
[0 0 -1 -5 | -0.125 0.25 0 1]

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o pivô seja 1. Na Linha 3, já temos 2 na terceira coluna.
Dividimos a Linha 3 por 2:
L3 div 2 L3
Nova Linha 3:
[0 0 1 0 | 0 0 0.5 0]

Passo 8

Vamos eliminar os outros valores na terceira coluna.
Linha 1 (L1): [1 0 6 0 | 0.25 0.5 0 0]
Fazemos: L1 - 6 times L3 L1
[1 - 0 0 - 0 6 - 6(1) 0 - 0 | 0.25 - 6(0) 0.5 - 6(0) 0 - 6(0.5) 0 - 6(0)]
[1 0 0 0 | 0.25 0.5 -3 0]
Linha 4 (L4): [0 0 -1 -5 | -0.125 0.25 0 1]
Fazemos: L4 + L3 L4
[0 + 0 0 + 0 -1 + 1 -5 + 0 | -0.125 + 0 0.25 + 0 0 + 0.5 1 + 0]
[0 0 0 -5 | -0.125 0.25 0.5 1]

Passo 9

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos que o pivô seja 1. Na Linha 4, temos -5.
Dividimos a Linha 4 por -5:
L4 div (-5) L4
Nova Linha 4:
[0 0 0 1 | 0.025 -0.05 -0.1 -0.2]

Passo 10

Finalmente, vamos eliminar os outros valores na quarta coluna.
Linha 1 (L1): [1 0 0 0 | 0.25 0.5 -3 0]
Não há necessidade de alteração, pois já temos 0 na quarta coluna.
Linha 2 (L2): [0 1 3 0 | -0.125 0.25 0 0]
Não há necessidade de alteração, pois já temos 0 na quarta coluna.
Linha 3 (L3): [0 0 1 0 | 0 0 0.5 0]
Não há necessidade de alteração, pois já temos 0 na quarta coluna.

Passo 11

Agora que já transformamos a parte esquerda da matriz aumentada na matriz identidade, a parte direita será a inversa de E .
Então, a matriz inversa E^-1 é:
E^-1 = 0.25 & 0.5 & -3 & 0 -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 0.5 & 0 0.025 & -0.05 & -0.1 & -0.2

Resposta

A matriz inversa de E é:
E^-1 = 0.25 & 0.5 & -3 & 0 -0.125 & 0.25 & 0 & 0 0 & 0 & 0.5 & 0 0.025 & -0.05 & -0.1 & -0.2

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