Use a informação dada para encontrar A :
(a) (5 A^T)^-1=[cc-3 & -1 5 & 2]
(b) (I+2 A)^-1=[cc-1 & 2 4 & 5]

Passo 1

Na parte (a) temos
l(5A^Tr)^-1 =-3 & -1 [6pt] 5 & 2
Para encontrar A vamos inverter os dois lados e usar propriedades de inversa e transposta:
5A^T =l[l(5A^Tr)^-1r]^-1, A^T =15l[l(5A^Tr)^-1r]^-1,
depois transpor para achar A.]

Passo 2

Calculamos a inversa da matriz
M=-3 & -1 [4pt]5 & 2
O determinante é
det(M)=(-3)cdot2-(-1)cdot5=-6+5=-1,
e a matriz adjunta é
adj(M) =2 & 1 [4pt]-5 & -3
Logo
M^-1 =1det(M),adj(M) =-12 & 1 [4pt]-5 & -3 =-2 & -1 [4pt]5 & 3 ]

Passo 3

Então
A^T =15M^-1 =-tfrac25 & -tfrac15 [4pt]tfrac55 & tfrac35 =-tfrac25 & -tfrac15 [4pt]1 & tfrac35
e por fim, transpondo,
A =-tfrac25 & 1 [4pt]-tfrac15 & tfrac35 ]

Passo 4

Na parte (b) temos
l(I+2Ar)^-1 =-1 & 2 [6pt]4 & 5
O procedimento é parecido: primeiro inverter esse lado para obter I+2A, depois isolar A.]

Passo 5

Seja
N=-1 & 2 [4pt]4 & 5
O determinante é
det(N)=(-1)cdot5-2cdot4=-5-8=-13,
e a adjunta é
adj(N) =5 & -2 [4pt]-4 & -1
Logo
N^-1 =1det(N),adj(N) =-tfrac1135 & -2 [4pt]-4 & -1 =-tfrac513 & tfrac213 [4pt]tfrac413 & -tfrac113 ]

Passo 6

Temos
I+2A =N^-1,
então
2A=N^-1-I =-tfrac513-1 & tfrac213-0 [4pt]tfrac413-0 & -tfrac113-1 =-tfrac1813 & tfrac213 [4pt]tfrac413 & -tfrac1413
Dividindo por 2,
A =12 -tfrac1813 & tfrac213 [4pt]tfrac413 & -tfrac1413 =-tfrac913 & tfrac113 [4pt]tfrac213 & -tfrac713 ]

Resposta

(a) A=-tfrac25 & 1 [4pt]-tfrac15 & tfrac35
(b) A=-tfrac913 & tfrac113 [4pt]tfrac213 & -tfrac713]

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