Use a aproximação por polinômio de Taylor para evitar perda de dígitos significantes nas seguintes fórmulas quando x está próximo de zero:
(a) e^x-1x
(b) e^x-e^-x2 x

Passo 1

O enunciado pede para usar a expansão em polinômio de Taylor em torno de x=0 de duas funções, de modo a evitar cancelamento quando x é muito pequeno. O conteúdo necessário é o desenvolvimento em série de Taylor de e^x e e^-x.

Passo 2

Começamos lembrando que a série de Taylor de e^x em torno de 0 é
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + x^44! + cdots,
e, trocando x por -x,
e^-x = 1 - x + x^22! - x^33! + x^44! - cdots

Passo 3

Para a função
e^x - 1x,
subtraímos 1 de e^x e dividimos por x:
e^x - 1x = l(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + cdotsr) - 1x = x + tfracx^22 + tfracx^36 + cdotsx = 1 + x2 + x^26 + x^324 + cdots

Passo 4

Para a função
e^x - e^-x2x,
observamos que o numerador é e^x - e^-x =
l(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + tfracx^424 + cdotsr) - l(1 - x + tfracx^22 - tfracx^36 + tfracx^424 - cdotsr) = 2l(x + x^36 + x^5120 + cdotsr)
Dividindo por 2x vem
e^x - e^-x2x = 1 + x^26 + x^4120 + cdots

Resposta

(a)
e^x - 1x approx 1 + x2 + x^26 + x^324 + cdots
(b)
e^x - e^-x2x approx 1 + x^26 + x^4120 + cdots

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