a) Determine o termo geral da sequência an=4,9,16,25,36, ldots
b) A sequência an é monôtona crescente ou descrescente ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a) descobrir uma fórmula que gere os termos da sequência an=4,9,16,25,36,dots e b) decidir se essa sequência é monótona crescente ou decrescente, justificando. O assunto é sequência numérica e definição de monotonicidade.

Passo 2

Para achar o termo geral, observamos os primeiros termos como quadrados de inteiros:
4=2^2, 9=3^2, 16=4^2, 25=5^2, 36=6^2.
O índice n varia de 1,2,3,dots e em cada caso o expoente é n+1.
Portanto, o termo geral da sequência, para n>=1, é
an = (n+1)^2

Passo 3

Para verificar a monotonicidade, calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1-an = (n+2)^2 - (n+1)^2 = (n+2 + n+1)(n+2 - (n+1)) = (2n+3)cdot1 = 2n+3
Como n>=1 implica 2n+3>=5>0, temos sempre an+1-an>0.

Passo 4

Como a diferença entre termos sucessivos é sempre positiva, a sequência cresce a cada passo. Logo ela é estritamente crescente.

Resposta

a) an = (n+1)^2.
b) A sequência é monótona crescente, pois para todo n>=1 vale an+1-an = 2n+3>0.

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