Se k dígitos decimais e arredondamento são usados para a representação de máquina de
y=0, d1 d2 d3 cdots dk dk+1 cdots times 10^n
mostre que |y-f e(y)y|<0.5 times 10^-k+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao representar em máquina o número
y = 0d1d2dots dkdk+1dotstimes 10^n
com k dígitos decimais usando arredondamento, a erro relativo satisfaz
|y - fe(y)y| < 0,5 times 10^-k+1
O conteúdo é o erro de arredondamento em representação de ponto flutuante decimal.

Passo 2

Quando arredondamos y para obter fe(y), cortamos depois de k dígitos e, se dk+1>=5, incrementamos dk em uma unidade; caso contrário deixamos dk como está. Assim o erro absoluto na mantissa vale no máximo meia unidade do último dígito mantido. Em termos de potências de dez,
l|,y - fe(y)r| <= 0,5 times 10^n-k

Passo 3

Para passar ao erro relativo, precisamos de um limite inferior para lvert yrvert. Como a mantissa é 0d1d2dots com d1neq0, temos
0,1 <= 0d1d2dots < 1 Longrightarrow |y| ;=; 0d1d2dots times 10^n ;>=; 0,1times 10^n ;=; 10^,n-1

Passo 4

Dividindo o erro absoluto pelo valor de y, obtemos
|y - fe(y)y| ;<=; 0,5 times 10^,n-k10^,n-1 ;=; 0,5 times 10^-k+1
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

boxed|y - fe(y)y| < 0,5 times 10^-k+1

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