Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar que as integrais abaixo estão corretas.
integral ln (x) d x=x ln (x)-x+C

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para verificar se a integral integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C está correta usando o conceito de primitiva ou antiderivada. Basicamente, vamos usar o fato de que derivar a primitiva nos dá a função original. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem logaritmos e produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa verificar a integral usando a primitiva. Se integral f(x) , dx = F(x) + C, então, derivando F(x) em relação a x, devemos obter f(x). Ou seja, ddxF(x) = f(x). Vamos aplicar isso para a nossa integral.

Passo 3

Vamos considerar a função que está na expressão da integral: F(x) = x ln(x) - x. Nosso objetivo é derivar F(x) e ver se obtemos ln(x).

Passo 4

Para derivar F(x) = x ln(x) - x, precisamos lembrar da regra do produto, que diz que se temos uma função do tipo u(x)v(x), a derivada é u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Passo 5

Aplicando a regra do produto na primeira parte x ln(x):
  • u(x) = x então u'(x) = 1
  • v(x) = ln(x) então v'(x) = 1x
Então, a derivada de x ln(x) é:
u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 cdot ln(x) + x cdot 1x = ln(x) + 1

Passo 6

Agora, vamos derivar a segunda parte -x. A derivada de -x em relação a x é -1.

Passo 7

Somando as derivadas das duas partes, temos:
ddx(x ln(x) - x) = (ln(x) + 1) + (-1) = ln(x)

Passo 8

Viu só? Derivamos a expressão x ln(x) - x e obtivemos ln(x), que era justamente a função que estava dentro da integral. Isso confirma que a integral está correta.

Resposta

Sim, a integral integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C está correta.

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