Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar que as integrais abaixo estão corretas.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para verificar se a integral
está correta usando o conceito de primitiva ou antiderivada. Basicamente, vamos usar o fato de que derivar a primitiva nos dá a função original. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem logaritmos e produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa verificar a integral usando a primitiva. Se
, então, derivando
em relação a
, devemos obter
. Ou seja,
. Vamos aplicar isso para a nossa integral.
Passo 3
Vamos considerar a função que está na expressão da integral:
. Nosso objetivo é derivar
e ver se obtemos
.
Passo 4
Para derivar
, precisamos lembrar da regra do produto, que diz que se temos uma função do tipo
, a derivada é
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto na primeira parte
:
-
então -
então
Então, a derivada de
é:
Passo 6
Agora, vamos derivar a segunda parte
. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 7
Somando as derivadas das duas partes, temos:
Passo 8
Viu só? Derivamos a expressão
e obtivemos
, que era justamente a função que estava dentro da integral. Isso confirma que a integral está correta.
Resposta
Sim, a integral
está correta.