Use o fato de que um vetor w, no espaço tangente a uma superfície regular, pode ser escrito da base associada Xu, Xv de uma parametrização X, da forma w = AXu+BXv para calcular a primeira forma fundamental da superfície regular: X(u, v)=(a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u) elipsoide;

Passo 1

Estamos trabalhando com a parametrização
X(u,v) = l(asin ucos v,;bsin usin v,;ccos ur)
de um elipsoide. O objetivo é encontrar a primeira forma fundamental, ou seja, os coeficientes
E = lang<= Xu, Xurang<=, F = lang<= Xu, Xvrang<=, G = lang<= Xv, Xvrang<=
para que, dado um vetor tangente w = A,Xu + B,Xv, tenhamos
I(w,w) = E,A^2 + 2F,A,B + G,B^2

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de X:
Xu = l(acos ucos v,;bcos usin v,;-csin ur),
Xv = l(-asin usin v,;bsin ucos v,;0r)

Passo 3

Determinar E, F e G pelos produtos escalares:
E = lang<= Xu, Xurang<= = a^2cos^2ucos^2v + b^2cos^2usin^2v + c^2sin^2u = cos^2u,(a^2cos^2v + b^2sin^2v) + c^2sin^2u,
F = lang<= Xu, Xvrang<= = -a^2cos ucos v,sin usin v + b^2cos usin v,sin ucos v = (b^2 - a^2),cos u,sin u,sin v,cos v,
G = lang<= Xv, Xvrang<= = a^2sin^2usin^2v + b^2sin^2ucos^2v = sin^2u,(a^2sin^2v + b^2cos^2v)

Passo 4

Construir a primeira forma fundamental:
I = E,du^2 + 2F,du,dv + G,dv^2
Em particular, para w = A,Xu + B,Xv,
I(w,w) = E,A^2 + 2F,A,B + G,B^2

Resposta

Os coeficientes da primeira forma fundamental são
E = cos^2u,(a^2cos^2v + b^2sin^2v) + c^2sin^2u,
F = (b^2 - a^2),cos u,sin u,sin v,cos v,
G = sin^2u,(a^2sin^2v + b^2cos^2v),
e assim
I = E,du^2 + 2F,du,dv + G,dv^2, I(w,w) = E,A^2 + 2F,A,B + G,B^2

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