Use o critério da comparação para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+1}{5^{n}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \quad\text{com}\quad a_{n} = \frac{2^{n}+1}{5^{n}+1}
e pede para usar o critério da comparação para decidir convergência. Vamos comparar a_{n} com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Para n\ge1 temos 1 \le 2^{n} e 5^{n}+1 \ge 5^{n}. Logo,
a_{n} = \frac{2^{n}+1}{5^{n}+1} \le \frac{2^{n}+2^{n}}{5^{n}} = \frac{2^{n+1}}{5^{n}} = 2\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{n}.
Defina b_{n} = 2\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{n}. A série \sum b_{n} é geométrica de razão r = \tfrac{2}{5}<1, portanto converge.

Passo 3

Como para todo n vale
0 \le a_{n} \le b_{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}
converge, o critério da comparação direta garante que
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+1}{5^{n}+1} converge pelo critério da comparação com a série geométrica de razão \tfrac{2}{5}.

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