Verifique se a série sumn=1^+infty (n+1) cdot 3^n2^2 n+1 é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede pra testar a convergência da série sumn=1^infty (n+1),3^n2^2n+1. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da razão (critério de D’Alembert) para decidir se converge.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral. Observamos que 2^2n+1=2cdot4^n. Então
(n+1),3^n2^2n+1=n+12(34)^n
Agora aplicamos o teste da razão. Chamando an=tfracn+12(tfrac34)^n, calculamos
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{\bigl((n+2)/2\bigr)(3/4){n+1}}{\bigl((n+1)/2\bigr)(3/4)n} = \frac{3}{4}\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} = \frac{3}{4}.
$$

Passo 3

Como L=3/4<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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