Verifique se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede pra testar a convergência da série
. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da razão (critério de D’Alembert) para decidir se converge.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o termo geral. Observamos que
. Então
Agora aplicamos o teste da razão. Chamando
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{\bigl((n+2)/2\bigr)(3/4){n+1}}{\bigl((n+1)/2\bigr)(3/4)n} = \frac{3}{4}\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} = \frac{3}{4}.
$$
Passo 3
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente.