Use o critério da integral para verificar se a série sumn=1^+infty 1(n+2)^32 é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^+infty 1(n+2)^3/2 usando o critério da integral. O conteúdo é teste de convergência de séries por comparação com uma integral imprópria e vamos precisar verificar as condições do teorema e calcular integral1^+infty 1(x+2)^3/2,dx.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1(x+2)^3/2 para x>=1. Note que f(x)>0, f é contínua para x>=1 e é estritamente decrescente, pois a derivada f'(x)=-tfrac32(x+2)^-5/2<0. Assim, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria. Fazendo a substituição u=x+2, quando x=1 temos u=3 e quando xto+infty temos uto+infty. Então

Passo 4

Como a integral imprópria converge (é finita), pelo critério da integral a série sumn=1^+infty 1(n+2)^3/2 também converge. No caso p=3/2>1, isso faz sentido pela comparação assintótica com séries p-séries.

Resposta

A série converge pelo critério da integral, pois a integral integral1^+infty 1(x+2)^3/2,dx é finita.

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