Use o critério da integral para verificar se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o critério da integral. O conteúdo é teste de convergência de séries por comparação com uma integral imprópria e vamos precisar verificar as condições do teorema e calcular
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que
,
é contínua para
e é estritamente decrescente, pois a derivada
. Assim, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria. Fazendo a substituição
, quando
temos
e quando
temos
. Então
Passo 4
Como a integral imprópria converge (é finita), pelo critério da integral a série
também converge. No caso
, isso faz sentido pela comparação assintótica com séries
-séries.
Resposta
A série converge pelo critério da integral, pois a integral
é finita.