Use o critério de comparação para mostrar que a série sumk=1^infty 55 k-1 diverge. Tente comparar com a série harmônica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumk=1^infty 55k-1
diverge, usando o critério de comparação com a série harmônica. Vamos lembrar que, se temos duas séries de termos não negativos sum ak e sum bk tal que ak >= bk para todo k e sum bk diverge, então sum ak também diverge.

Passo 2

Verificamos primeiro que todos os termos são positivos. Para k>=1 temos 5k-1>0, logo
55k-1>0

Passo 3

Fazemos a comparação direta com tfrac1k. Note que, para k>=1,
5k-1 ;<=; 5k Longrightarrow 15k-1;>=;15k Longrightarrow 55k-1;>=;55k;=;1k

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
sumk=1^infty 1k
é divergente.

Passo 5

Como para todo k vale
55k-1>=1k
e sumk=1^infty1k diverge, pelo critério de comparação concluímos que
sumk=1^infty 55k-1
também diverge.

Resposta

A série diverge por comparação direta com a harmônica.

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