Use o critério do limite( critério de comparação no limte) para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumk=1^infty raizn+1n^2+2. Sugestão use a série sumk=1^infty 1raizk

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty raizn+1n^2+2
usando o critério de comparação pelo limite. Vamos comparar com a série
sumn=1^infty 1raizn,
que é uma p-série com p=tfrac12.

Passo 2

Definimos
an = raizn+1n^2+2 e bn = 1raizn
Sabemos que sum bn=sum 1/raizn diverge, pois é uma p-série com p=tfrac12<1.

Passo 3

Vamos calcular o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty raizn+1n^2+21raizn = limntoinfty raizn(n+1)n^2+2 = raizlimntoinftyn^2+nn^2+2
Como
limntoinftyn^2+nn^2+2 =1,
segue que L=raiz1=1.

Passo 4

O critério de comparação pelo limite diz que, se
0 < L < infty,
então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Como L=1 e sum bn diverge, concluímos que
sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyraiztfracn+1n^2+2 diverge.

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