Use o critério do limite( critério de comparação no limte) para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumk=2^infty 1ln k. Sugestão: Use a série sumk=2^infty 1k.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=2^infty1ln k
converge ou diverge, usando o critério de comparação pelo limite. Vamos comparar com a série harmônica
sumk=2^infty1k,
que é conhecida por divergir.

Passo 2

O teste de comparação pelo limite diz o seguinte. Seja (ak) e (bk) duas sequências de termos positivos. Defina
L = limktoinftyakbk
  1. Se 0 < L < infty, então sum ak e sum bk convergem ou divergem juntas.
  2. Se L = infty e sum bk diverge, então sum ak também diverge.
Aqui vamos usar o segundo caso, pois esperamos que o limite seja infinito.

Passo 3

Escolhemos
ak = 1ln k, bk = 1k
Calculamos o limite
limktoinftyakbk =limktoinfty1ln k1k =limktoinftykln k
Como k/ln ktoinfty quando ktoinfty, temos
L = infty

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
sumk=2^infty1k
diverge. Pelo critério de comparação pelo limite no caso L=infty, isso implica que
sumk=2^infty1ln k
também diverge, pois seus termos são eventualmente maiores que os termos da harmônica.

Resposta

A série sumk=2^infty1ln k diverge.

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