Use o critério de diferenciabilidade para verificar que as funções a seguir, siōo diferenciáveis em R^2 e calcule f^prime(x, y).
c) f(x, y)=x^3+y^2-3 x y

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que a função f: ℝ²→ℝ dada por f(x,y)=x³+y²−3xy é diferenciável em ℝ² usando o critério de derivadas parciais contínuas e então calcular f′(x,y). Vamos usar o conteúdo de diferenciabilidade de funções de várias variáveis e o fato de que polinômios têm derivadas contínuas.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Para isso lembramos que ∂/∂x de x³ é 3x², de −3xy é −3y, e ∂/∂y de y² é 2y, de −3xy é −3x. Assim: ∂f/∂x=3x²−3y e ∂f/∂y=2y−3x.

Passo 3

As funções ∂f/∂x=3x²−3y e ∂f/∂y=2y−3x são polinômios em (x,y). Polinômios são contínuos em todo ℝ², logo ambas as derivadas parciais são contínuas em ℝ².

Passo 4

Pelo critério de diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem num vizinho de um ponto e são contínuas nesse vizinho, então a função é diferenciável nesse ponto. Como as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo ℝ², concluímos que f é diferenciável em ℝ².

Resposta

f'(x,y)=(3x^2-3y,;2y-3x)

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