Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
usando o critério da razão. Vamos definir o termo geral
a_{n}=x^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
e aplicar o teste da razão para encontrar para quais x há convergência.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\left|\frac{x^{n+1}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)}{x^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}\right| =|x|\;\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)}{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}.

Passo 3

Para n\to\infty usamos \operatorname{sen} y\sim y quando y\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n+1}\bigr)}{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)} \sim\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=|x|\cdot1=|x|.

Passo 4

O critério da razão diz que se L=\lim|a_{n+1}/a_n|, então
  • converge absolutamente se L<1,
  • diverge se L>1,
  • é inconclusivo se L=1.
    Aqui L=|x|, portanto a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 5

Falta analisar o caso |x|=1, isto é x=1 e x=-1, pois ali o critério da razão é inconclusivo.

Passo 6

Para x=1 o termo geral vira \operatorname{sen}(1/n). Como para n grande
\operatorname{sen}(1/n)\sim1/n e \sum1/n é a série harmônica que diverge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
também diverge.

Passo 7

Para x=-1 o termo geral é
(-1)^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Aqui temos uma série alternante cujos termos em módulo b_{n}=\operatorname{sen}(1/n) são positivos, decrescentes (pois 1/n decresce e \operatorname{sen} é crescente em [0,1]) e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz, essa série converge (condicionalmente).

Resposta

A série converge absolutamente para |x|<1, diverge para |x|>1; em x=1 diverge e em x=-1 converge condicionalmente.

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