Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes. \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O critério da razão diz que se L=\lim|a_{n+1}/a_n|, então
converge absolutamente se L<1,
diverge se L>1,
é inconclusivo se L=1.
Aqui L=|x|, portanto a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.
Passo 5
Falta analisar o caso |x|=1, isto é x=1 e x=-1, pois ali o critério da razão é inconclusivo.
Passo 6
Para x=1 o termo geral vira \operatorname{sen}(1/n). Como para n grande \operatorname{sen}(1/n)\sim1/n e \sum1/n é a série harmônica que diverge, concluímos que
Aqui temos uma série alternante cujos termos em módulo b_{n}=\operatorname{sen}(1/n) são positivos, decrescentes (pois 1/n decresce e \operatorname{sen} é crescente em [0,1]) e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz, essa série converge (condicionalmente).
Resposta
A série converge absolutamente para |x|<1, diverge para |x|>1; em x=1 diverge e em x=-1 converge condicionalmente.