Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
usando o critério da razão. Trata-se de uma série de potências em x e vamos aplicar o teste da razão para determinar para quais x ela converge ou diverge.

Passo 2

Chamemos de a_{n} o termo geral da série:
a_{n} = (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
O critério da razão requer o cálculo de
\frac{\bigl|a_{n+1}\bigr|}{\bigl|a_{n}\bigr|} =\frac{\left|(-1)^{n+1}\displaystyle\frac{x^{2(n+1)}}{(2(n+1))!}\right|} {\left|(-1)^{n}\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right|} =\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = 0.
Como L=0<1 para todo valor finito de x, o critério da razão garante convergência absoluta da série em qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Concluímos que a série converge (absolutamente) para qualquer valor real de x. Não existe valor de x real que torne a série divergente segundo o critério da razão.

Resposta

A série converge para todo x\in\mathbb{R} e não diverge para nenhum valor real de x.

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