Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
usando o critério da razão. Trata-se de uma série de potências em x e vamos aplicar o teste da razão para determinar para quais x ela converge ou diverge.
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+2)(2n+1)} = 0.
Como L=0<1para todo valor finito de x, o critério da razão garante convergência absoluta da série em qualquer x\in\mathbb{R}.
Passo 4
Concluímos que a série converge (absolutamente) para qualquer valor real de x. Não existe valor de x real que torne a série divergente segundo o critério da razão.
Resposta
A série converge para todo x\in\mathbb{R} e não diverge para nenhum valor real de x.