Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas.
Toda série absolutamente convergente é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se “toda série absolutamente convergente é convergente”. O conteúdo principal aqui é a definição de convergência de séries e o conceito de convergência absoluta. Para resolver, vamos usar o critério de Cauchy para séries e a desigualdade triangular.

Passo 2

Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_n uma série tal que \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| converge. Pela convergência absoluta, para todo \varepsilon>0 existe N tais que, para quaisquer inteiros m>n\ge N, vale
\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|<\varepsilon.
Usando a desigualdade triangular temos
\Bigl|\sum_{k=n+1}^{m}a_k\Bigr|\le\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|<\varepsilon.
Isso mostra que a série \sum a_n satisfaz o critério de Cauchy, e portanto converge.

Resposta

Verdadeiro.

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